LOJ 6202 葉氏篩法 min 25 篩

求 $[l, r]$ 之間的素數之和 . $l≤10^,2×10^ \le r \le 10^$

乙個有點裸的min_25篩? 現在我只會篩素數的字首和 , 合數的過幾天再學吧 .

首先推薦一波yyb大佬部落格這個人很強 , 別那麼fake就好啦

令 $f(x) = x$ 顯然此處 $f(x)$ 是完全積性函式 .

我們需要求的就是 $$\displaystyle \sum_^ [i \in prime] f(i)$$ .

這個就是min_25篩的預處理部分啦.

由 yyb部落格可得 .

對於下面這個表示式 ,

\[\displaystyle g(n,j)=\sum_^ni[i\in p\ or \min(p)>p_j,p|i,p\in p\ ]

\]有如下乙個遞推式 :

\[g(n,j)=\begin g(n,j-1)&p_j^2\gt n\\ g(n,j-1)-p_[g(\frac,j-1)-g(p_j-1,j-1)]&p_j^2\le n\end

\]這個直接實現是 $\displaystyle o(\frac}})$ 的複雜度 qwq

然後考慮**實現 .

首先預處理前 $\sqrt n$ 的素數 , (假設處理到了 $lim$ )

以及 $i=1 \sim lim$ 的 $f(x)$ 字首和 . (此處可適當處理多一點 , 時間效率會提高)

然後假設我們當前考慮的是 $g(n, m)$ .

直觀上共有三步 .

$p_^2 > n$ 且 $n \le lim$ , 那麼此時可以直接用之前預處理的答案 , 因為此時存在有貢獻的數隻可能為素數 .

將 $m$ 一直縮小到 $n < p_m^2$ . 這個利用了遞推式 $p_j^2 > n$ 時 $g(n,j) = g(n, j - 1)$ 的那個定理 .

然後不斷將 $m$ 下降, 直至下降到 $0$ , 此間需要要遞迴計算 $p_[g(\frac,j-1)+g(p_j-1,j-1)]$ 的值 , 其中後者 $g(p_j-1,j-1)$ 可以用前面預處理 , 遞迴下去也只會有一層 . 而前者會不斷遞迴計算 . 其中 $m$ 到 $0$ 的時候 , 就是邊界情況 : $\displaystyle g(n, 0)=\sum_^ i$ . 這個是很顯然的 , 因為此時所有數都計入了貢獻 , 但 $1$ 是無法給予這個貢獻的 . (一開始此處除錯許久... )

直接按前面的式子模擬即可。

#include #define for(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ':' << x << endl
using namespace std;
void file() 
const int n = 1e7 + 1e3, lim = 1e7;
typedef __int128 ll;
inline ll read() 
inline void out(ll x, bool fir = true) out(x / 10, false); putchar (x % 10 + 48); if (fir) putchar ('\n'); 
}int prime[n], cnt = 0; bitsetis_prime;
ll sump[n];
void init(int maxn) }}
inline ll sum(ll x) 
int tot = 0;
ll sump(ll n, int m) 
inline ll calc(ll x) 
int main ()

如何做非遞迴呢？

考慮每次的 $j$ 都是不斷減小的，就是我們會依次會除掉乙個個質因子 $p_j$ 。

我們從小到大列舉每個質因子 $p_j \le \lfloor \sqrt n \rfloor$ ，然後再從小到大列舉每個 $n$ 的塊 $\displaystyle \lfloor \frac \rfloor$ （只有 $\sqrt n$ 個）。

然後利用上面的式子直接遞推即可。

具體實現的時候由於只有 $\sqrt n$ 個，我們對於 $\le \sqrt n$ 的和 $> \sqrt n$ 的進行分塊即可。

#include #define for(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
using namespace std;
//typedef long long ll;
typedef __int128 ll;
templateinline bool chkmin(t &a, t b) 
templateinline bool chkmax(t &a, t b) 
inline ll read() 
inline void out(ll x) 
char stk[25]; int top = 0;
for (; x; x /= 10) stk[++ top] = (x % 10) + 48;
while (top) putchar (stk[top --]); putchar ('\n');
}void file() 
const int n = sqrt(1e11) * 2 + 10;
bitsetis_prime; 
int prime[n / 10], pcnt; ll sump[n / 10];
void linear_sieve(int maxn) 
for (int j = 1; j <= pcnt && 1ll * prime[j] * i <= maxn; ++ j) }}
int d, id1[n], id2[n]; 
ll val[n], res[n];
#define id(x) (x <= d ? id1[x] : id2[n / (x)])
inline ll sum(ll n) 
ll min25_sieve(ll n) 
int main ()

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