快速傅利葉變換 FFT

快速傅利葉變換，用來求出兩個多項式相乘，如果暴力相乘，時間複雜度為\(o(n^2 )\)，使用快速傅利葉變換，可以優化到\(o(n \log n)\)。

準備知識：

多項式：設\(a(x)\)表示乙個n次多項式，則\(a(x)=a_0x^0+a_1x^1+\cdots+a_x^\)

多項式的表示方法：

一是用係數表示法，表示為\(\sum_^a_ix^i\)，二是點值表示法，表示為對於幾個具體的\(x\)對應的\(a(x)\)的值，最少需要\(n\)個不同的點就能表示唯一乙個\(n-1\)次多項式。

多項式運算：

加法：

如果使用係數表示法，則將各個係數相加，複雜度為\(o(n)\)；

如果使用點值表示法，則將橫座標相同點的縱座標相加，複雜度相同。

乘法：

如果使用係數表示法，則設得到的多項式為\(\sum_^nc_ix^i\)，其中，\(c_i=\sum_a_jb_k\)，很顯然，時間複雜度為\(o(n^2)\)；

如果使用點值表示法，則將橫座標相同點的縱座標相乘，複雜度仍不變，為\(o(n)\)。

向量：

物理、幾何學意義：同時具有大小和方向的量。向量相加滿足平行四邊形定則。

複數：

分為實部與虛部，形如\(a+bi\),詳見。

複數單位根：

將複數\(a+bi\)中a看做橫座標，b看做縱座標，則複數單位根為到原點距離為1的點。這些點構成的集合為乙個圓，稱為單位圓。單位圓的n等分點稱為n次單位根，將幅角為正且最小的數設為\(\omega_n\)，則n次單位根分別為\(\omega_n^2,\omega_n^3,\dots,\omega_n^n\)。\(\omega_n=\omega_n^n=1\)。根據尤拉公式\(e^=\cos \theta+i\ \sin \theta\)，\(\omega_n^k=e^}=\cos k \cdot \frac+i\sin k \cdot \frac\)。

易知，\(\omega_n^}=-\omega_n^k,\omega_n^2=\omega_}\)。(可以畫圖試試)

快速傅利葉變換的思想主要是分治。

進行快速傅利葉變換，就是將n個n次單位根分別對多項式求出對應的值。

對於多項式a(x),將其n次單位根帶入，則可得到\(a(\omega_n^k)=\sum_^na_i\omega_n^\)

我們將其按照奇偶性分組，得到：\(a(\omega_n^k)=\sum_^a_\omega_n^+\omega_n^k\sum_^a_\omega_n^\)

由上面的公式得：\(a(\omega_n^k)=\sum_^a_\omega_^+\omega_n^k\sum_^a_\omega_^\)

並且\[\begin a(\omega_n^}) &=& \sum_^-1}a_\omega_}^+\omega_n^}\sum_^-1}a_\omega_}^ \\ &=&\sum_^-1}a_\omega_}^-\omega_n^k\sum_^-1}a_\omega_}^ \end

\]這樣需要帶入的值就減少了一半，時間複雜度為\(t(n)=2t(n/2)+o(n)=o(n\log n)\)。

當然，我們還需要將點值表示轉化為係數表示，具體實現就是傅利葉逆變換，就是把原來的傅利葉變換裡的\(\omega_n^k\)變成\(-\omega_n^k\)帶上然後把係數除以n就好了。證明：我不會。。

實現的快速方法：二進位制優化，背板子就好了qaq

#include#include#include#includeusing namespace std;
const int maxn=1100000;
const double pi=3.14159265358979323846;
int n,m,r[maxn],limit=1,l;
struct complex a[maxn],b[maxn];
complex operator + (complex a,complex b) ;
}complex operator - (complex a,complex b) ;
}complex operator * (complex a,complex b) ;
}void fft(complex *a,int type)

快速傅利葉變換 FFT

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