分治FFT學習筆記

在\(o(n\log^2 n)\)的時間內做諸如

\[f_n=\sum_^ f_ig_

\]或是

\[f_n=\sum_^ f_if_

\]或是

\[f_=\sum_s\sum_t \sum_i f_f_

\]等「我卷我自己」的式子。

（如果你覺得這東西多項式求逆也可以做，那麼請你認真看一下第三個式子）

用cdq分治的思想：先遞迴做出左邊，考慮左邊對右邊的貢獻，然後遞迴右邊。

這其實就是最簡單的分治fft，用多項式求逆也可以實現。

現在\(g\)也被\(f\)替換了，考慮仍然用上面的做法，但你會發現：你掛了。

為什麼會掛呢？

上面的統計貢獻的過程是這樣的：分治\([l,r]\)時，先做出\([l,mid]\)的\(f\)，然後把\([l,mid]\)的\(f\)和\([1,r-l+1]\)的\(g\)卷在一起，把貢獻算到\([mid+1,r]\)上面去。

但是現在發現乙個漏洞：如果\(g\)替換成了\(f\)，那麼\([1,r-l+1]\)的\(f\)可能還沒有被完全算出來。

什麼時候會發生這種情況呢？考慮分治結構其實和線段樹結構相同，滿足左邊的大小\(\ge\)右邊的大小，所以只有在最左邊的那個區間可能會發生這種事，也就是\(l=1\)時。

那怎麼辦？怎麼提前算出右邊？

我也不知道

既然不能提前算出來，那就不算，只算出\(f\)在\([l,mid]\)的值對右邊的貢獻之後直接往右邊遞迴。

顯然，乙個點不能對自己產生貢獻，所以遞迴到乙個點的時候肯定是對的。

而兩個點時可以算出\(l\)對\(r\)的貢獻，也是對的。

以此類推，它就是對的。

（完全嚴謹的證明我也不會啊qwq）

注意：當\(l\ne 1\)時把\([l,mid]\)和\([1,r-l+1]\)卷起來時相當於欽定乙個指標在\([l,mid]\)，而另乙個在\([1,r-l+1]\)，但實際上他們有可能會交換位置，所以要乘2。

update：我都寫了些啥……其實就是把兩個卷起來的時候有兩個指標，在右邊的那個指標位置統計貢獻，所以直接遞迴右邊完全莫得問題。當卷積並不是二次方而是三次方、四次方的時候也照樣可以在最右邊的那個位置統計貢獻。

這個式子真是醜呢……

然而直接用式子二的方法就可以了，方法並沒有太大不同，除了……

注意：當\([l\ne 1]\)時￥%……&@&￥%￥，也相當於欽定了指標的位置，所以還要交換來一遍。

這麼說可能比較難理解，考慮這麼乙個式子：

\[f1_n=\sum_i f1_if2_\\

f2_n=\sum_i f2_if1_

\]這時你不能簡單地把\(f1[l,mid]\)和\(f2[1,r-l+1]\)卷起來，還要把\(f2[l,mid]\)和\(f1[1,r-l+1]\)卷起來，這才能做到不重不漏。

**現在不在我電腦上，我又那麼懶，所以——

咕咕咕……

（建議去食用**/kel）