斜率優化總結

首先，推薦乙個大佬的部落格，講解非常詳細，所以不會斜率優化的請移步這裡，本部落格主要講題目分析qwq

主要講解題目：

1.[hnoi2008玩具裝箱]

2.[zjoi2007倉庫建設]

3.[usaco08mar土地徵用land acquisition]

4.[apio2010特別行動隊]

下面，開始吧。

題目分析：

/* 如何看出它是個斜率優化的題呢？

first：我們可以輕鬆的看出它是個dp

next：資料範圍對於 $o(n^2)$顯然不大友好

then: 怎麼辦呢？肯定是得優化的，但怎麼優化，用什麼優化才是關鍵。*/

估計很多讀者（呃。。such as本人）想到這裡，直接的反應是：（算了，算了，不管了，寫個dp式子，拿個暴力分得了）於是對於此題，經過一番分析後，我們可以發現，有好幾種方法列出狀態及轉移方程。

比如說$o(n^3)$的區間dp，讀者們是可以較輕鬆列出的，但是這樣的話，我們驚訝的發現：這玩意兒沒辦法優化，（寫的極其優美的情況下)才是$o(n^3)$的。此種——只適合暴力。

再想想，有沒有$o(n^2)$的做法。

當然是有的，我們可以將狀態這樣設： $f[i]$ 表示裝到第$i$個玩具，最小的花費是多少。這樣我們接下來可以直接列舉上乙個打包壓縮的位置$j$，用$f[j]$來更新我們的$f[i]$,時間複雜度$o(n^2)$。

方程是這樣的$f[i]=min$ 其中$sum$陣列維護的是題目中$c$陣列的字首和（為了計算費用方便）

$!!!$接下來的過程才是重頭戲，經過上面dalao部落格的學習後，我們知道了斜率優化這個東西，它的本質是要將上面的轉移方程轉化為 $y=kx+b$的形式，其中$b$就是我們要求的$f[i]$。（方便求）

於是，開始了漫長的導式子過程： (部分摘自上面那位的blog......)

我們可以知道，所有只和$i$有關的項，和常數項可以暫時拿掉（相當於放在$b$旁邊），最後再加，因為它是個定值，對答案沒有影響，而且在以後的相減過程中，都是可以消去的項（大家不妨可以保留後試一試，看看對答案是否有影響）。

然後呢，我們令 $s[x]=sum[x]+x$

上面那個式子就成了這樣: $f[i]=f[j]+s[i]^2+(s[j]-l)^2-2*s[i]*(s[j]-l)$

移項：$f[j]+s[i]^2+(s[j]+l)^2=2*s[i]*(s[j]+l)+f[i]$

省略式子（簡化）:$f[j]+(s[j]+l)^2=2*s[i]*(s[j]+l)+f[i]$

然後這一坨 $f[j]+(s[j]+l)^2$ 就是 $y$ ,$2*s[i]$就是$k$,$f[i]$便是$b$，$s[j]$便是$x$（至於$l$為什麼可以拿掉，因為在維護上面的式子時，我們需要做差，這一過程後，我們發現，$l$消失了。。）。

finally：可以用斜率優化的一貫做法來解題了。首先要看好，要維護的凸包是向上的，還是向下的。（用人話來說，就是看看這個題是維護最小的花費，還是最大的花費。）然後建個平面直角座標系，每個點的座標便是 $(s[j],f[j]+(s[j]+l)^2)$ ，然後。。在此就不贅述了，剩下的上面那篇部落格裡就都有了，而且也是些套路的問題。

$!!!$這裡有個比較重要的問題，就是我們一定一定要看好斜率$k$的符號，以便處理一些細節問題。

以下是**：

#include #include #include using namespace std;

const int n=50001;

int n, l;

long long s[n];

long long f[n];

long long q[n];

double f_x(int x)

double f_y(int x)

double f_k(int a,int b)

int main()

int head, tail;

head=tail=0;

for(int i=1;i<=n;i++)

s[i]+=i;

for(int i=1;i<=n;i++)

{while(head//　以下題均為略講，如有特殊需要注意的地方，會加重處理。

呃。。其實我最初分析這道題時，認為和上一道沒什麼兩樣。。。（其實真沒什麼兩樣），比較裸的概率dp，做起來，**看起來，都差不多。（未完待續。。。）

斜率優化總結

斜率優化總結

斜率優化總結

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