dp斜率優化

前置知識：

凸包

斜率優化很玄學，憑空講怎麼也講不好，所以放例題。

[apio2014]序列分割

給你乙個長度為 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,...,a_n\)。你可以切 \(k\) 刀，每一刀可以把某一段序列切成兩段，然後獲得兩段和成績的收益。最後求最大收益和得到最大收益的切割方案。

資料範圍：\(2\le n\le 100000,1\le k\le\min\,1\le a_i\le 10000\)。

首先證明，切的順序不影響結果。設序列為連著的 \(a,b,c\) 三段。三段的和分別為 \(a,b,c\)。

如果先切開 \(a|b,c\) 再切開 \(a|b|c\)，獲益為 \(a(b+c)+bc=ab+ac+bc\)。

如果先切開 \(a,b|c\) 再切開 \(a|b|c\)，獲益為 \((a+b)c+ab=ac+bc+ab\)。

所以以此類推，切割的順序不影響最終收益大小。

然後開始 \(\texttt\)，\(f_\) 表示前 \(i\) 個數切 \(j\) 刀的最大收益，\(s_i=\sum\limits^i_a_j\)，則有狀態轉移方程：

\[f_=\max\+s_t(s_i-s_t)\}(0\le t

因為 \(f_\) 只由 \(f_\) 推得，所以可以滾動陣列 \(f\)，令 \(f_j=f_\)，\(g_j=f_\)，那麼上式就變成：

\[f_i=\max\(0\le t

如果直接暴力跑一次 \(2\) 重迴圈的 \(\texttt\)，\(\theta(n^2k)\) 會 \(\color}\)，但你仔細觀察 \(g_t+s_t(s_i-s_t)\) 這個式子，如果有乙個 \(p(0\le p滿足

\[g_p+s_p(s_i-s_p)\ge g_t+s_t(s_i-s_t)

\]則推式可得：

\[(g_p-s_p^2)-(g_t-s_t^2)\ge s_t\cdot s_i-s_p\cdot s_i

\]\[\therefore\frac\ge s_i

\]令 \(slope=\frac\)

如果把 \((-s_p,g_p-s_p^2)\) 和 \((-s_t,g_t-s_t^2)\) 看作平面直角座標系中的兩個點，那麼 \(slope\) 就是這兩個點連邊的斜率。

因為 \(\texttt\) 迴圈 \(i=1\to n\) 時 \(s_i\) 是遞增的，而兩個點的 \(slope\) 又不是隨 \(s_i\) 變化的，所以可以維護乙個雙頭單調佇列，每次把 \(i\) 放到隊尾，佇列滿足：

從左到右數遞增。

從左到右相鄰兩個數所對應的點連邊的斜率遞減。

然後維護佇列並 \(\texttt\)：

迴圈 \(j=1\to k\)：

賦值滾動陣列 \(g=f\)，清零 \(f\)。

清空佇列並在佇列中加入 \(0\)（相當於原點）。

迴圈 \(i=1\to n\)：

把佇列頭相鄰兩個數 \(slope\le s_i\) 的踢掉。

取佇列頭 \(p\)，\(f_i=g_p+s_p(s_i-s_p)\)。

因為最終要輸出方案，所以記錄索引 \(pro_=p\)。

把 \(i\) 看作點 \((-s_i,g_i-s_i^2)\)，如果隊尾相鄰元素的 \(slope\ge i\) 和隊尾元素的 \(slope\)，就把隊尾元素踢掉。

隊尾加入 \(i\)。

然後在單調佇列和斜率優化的加持下，因為維護佇列和迴圈 \(\texttt\) 的總時間複雜度為 \(\theta(n)\)，所以總的時間複雜度縮減為 \(\theta(nk)\)。於是蒟蒻逃脫了 \(\color}\) 的風險。

#include using namespace std;
/*,,
a(b+c)+bc=ab+ac+bc\-\greatitude
(a+b)c+ab=ac+bc+ab/-/
*/#define lng long long
const int n=1e5+10,k=210;
int n,k,a[n],q[n],p[n][k]; //n,k,ai,queue,方案路徑
lng f[n],g[n],sum[n]; //fi,gt,si
double funct(int x,int y)
int main()
} printf("%lld\n",f[n]); //輸出最終最大收益
for(int i=k,j=n;i>=1;i--)
printf("%d%c",j=p[j][i],"\n "[i>1]); //輸出切割方案。
return 0;
}

祝大家學習愉快！

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斜率優化 DP

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