斜率優化dp小結

在寫斜率優化之前，我們來回顧一下單調佇列優化的dp 

1. 對於如下形式的dp方程 

dp[i]=min(0

我們直接用乙個變數維護(0, i)中dp[j] + f(j)的最小值即可

2.對於如下形式的dp方程 

dp[i]=min(i−m

我們可以用乙個單調佇列維護乙個(i - m, j)中dp[j] + f(j)的最小值，然後做到o(1)轉移。

但是對於形如 

dp[i]=mindp[i]=min

的方程，無法做到o(1)計算dp[j]+f(i,j)dp[j]+f(i,j)的最小值，這時就需要斜率優化這個技巧來解決這個問題了。 

令k < j < i，當我們更新dp[i]時，如果有dp[j] + f(i, j) 比dp[k] + f(i, k)更優，則有dp[j] + f(i, j) - (dp[k] + f(i, k) < 0，對於這個不等式如果能夠化解成如下形式 

y(j)−y(k)x(j)−x(k)

我們就能通過斜率優化這個dp了。 

讓我們來舉乙個例子: hdu3507 dp方程為 

dp[i]=min

}dp[mid] = g; //更新dp[mid]的值

//因為上文敘述的單調性，

//更新[l,mid-1]的最優點，一定在[dl,dm]範圍內

if(l < mid) dfs(l, mid - 1, dl, dm);

//更新[mid+1,r]的最優點，一定在[dm,dr]範圍內

if(mid < r) dfs(mid + 1, r, dm, dr);

//此份**dfs順序有點問題，並不正確，但是並不影響理解

}可以發現這個分治比起斜率優化，不僅寫起來方便很多，並且適用的範圍也更廣。這個做法不侷限於斜率單調，可以發現只要滿足c是更新f(a)的最優點，d是更新f(b)的最優點，若a > b 一定有 c > d，則可以有這個分治做。

這個做法是我在codeforces 674e,跟claris神犇的**學會的solution,在此特地感謝claris.這個做法著實是非常的勁啊！多乙個log，但是換來編碼複雜度和通用性更廣的解法。

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