如何以 \(o(n \log n)\) 的效率將係數多項式轉換為點值多項式。
眾所周知，\(x^n=1\)的根有n個，而且它們分別是\(e^}\)，即在復平面內的座標為\((cos(2πi),sin(2πi))\)。
我們分別用\(ω_n^0~ω_n^\)來描述這n個根。而且等會我們要算的，就是多項式a在這n個點處的點值。
為了方便計算，我們設n為2的冪次。
由複數的性質可以得到一些公式：
\((ω_^)=ω_n^k\)
\((ω_n^k)^2=ω_n^=ω_^\)
\(ω_n^}=-ω_n^k\)
假設我們有乙個長度為n的多項式\(a(x)=a_0+a_1x...a_x^\)，現在我們設乙個過程\(f(a)\)來遞迴地計算\(a(x)\)的點值多項式（而且點值的自變數就是上述n個單位複數根）。
簡單地把\(a(x)\)拆分成兩個多項式，即設：
\(a_0(x)=a_0+a_2x+a_4x^2...+a_x^-1}\)
\(a_1(x)=a_1+a_3x+a_5x^2...+a_x^-1}\)
容易發現\(a(x)=a_0(x^2)+x*a_1(x^2)\)
我們要求的是對於所有k，\(ω_n^k\) 處的點值。
且\(a(ω_n^k)=a_0((ω_n^k)^2)+ω_n^k*a_1((ω_n^k)^2)\)
先求所有的k滿足\(k∈[0,n/2)\)
化簡易得\(a(ω_n^k)=a_0(ω_}^k)+ω_n^k*a_1(ω_}^k)\)
而且對於\(k∈[0,n/2)\)，我們也可以得到
\(a(ω_n^})=a_0(ω_n^)+ω_n^}*a_1(ω_n^)\)
\(=a_0(ω_n^)-ω_n^*a_1(ω_n^)=a_0(ω_}^k)-ω_n^*a_1(ω_}^k)\)
此時我們已經能求出所有的點值了，而且我們要用到的條件就是：
\(a_0(ω_}^k)\) 和 \(a_1(ω_}^k)\)
\(k∈[0,n/2)\)
容易發現這就是子問題，我們只需直接遞迴 \(f(a_0)\) 和 \(f(a_1)\) 即可。
由主定理，得效率為\(t(n)=o(n)+2*t(\frac)=o(n \log n)\)
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