ps: _此處以詢問區間和為例。實際上線段樹可以處理很多符合結合律的操作。
（比如說加法，a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=(a[1]+a[2])+(a[3]+a[4])）
線段樹之所以稱為「樹」，是因為其具有樹的結構特性。
線段樹由於本身是專門用來處理區間問題的(包括rmq、rsq問題等)。
（**於網際網路。
對於每乙個子節點而言，都表示整個序列中的一段子區間；
對於每個葉子節點而言，都表示序列中的單個元素資訊；
子節點不斷向自己的父親節點傳遞資訊，而父節點儲存的資訊則是他的每乙個子節點資訊的整合。
有沒有覺得很熟悉？
對，線段樹就是分塊思想的樹化，或者說是對於資訊處理的二進位製化
用於達到o(logn)級別的處理速度，log以2為底。
（其實以幾為底都只不過是個常數，可忽略)。
而分塊的思想，則是可以用一句話總結為：
通過將整個序列分為有窮個小塊，
對於要查詢的一段區間，總是可以整合成k個所分塊與m個單個元素的資訊的並集(0<=k,m<=sqrt(n))。
但普通的分塊不能高效率地解決很多問題，所以作為log級別的資料結構，線段樹應運而生。
extratips:
其實，雖然線段樹的時間效率要高於分塊
但是實際上分塊的總合併次數不會超過sqrt(n)
但是線段樹在最壞情況下的合併次數
顯然是要大於這個時間效率的qwq。
但是畢竟也只是乙個很大的常數而已
雖說如此，分塊的應用範圍還是要廣於線段樹的，
因為雖然線段樹好像很快，但是它只能維護帶有結合律的資訊，
比如區間max/min、sum、xor之類的，
但是不帶有結合律的資訊就不能維護（且看下文分解）；
而分塊則靈活得多，可以維護很多別的東西,
因為實際上分塊的本質就是優雅的暴力。
其實越暴力的演算法可以支援的操作就越多、功能性就越強.
n^2n2的暴力幾乎什麼都可以維護(huaji
由於二叉樹的自身特性，對於每個父親節點的編號ii,他的兩個兒子的編號分別是2i2i和2i+12i+1，所以我們考慮寫兩個o(1)o(1)的取兒子函式：
int n;extratips:int ans[maxn*4];
inline int ls(int p)//左兒子
inline int rs(int p)//右兒子
1、此處的inlineinline可以有效防止無需入棧的資訊入棧，節省時間和空間。
2、二進位制位左移一位代表著數值*2，而如果左移完之後再或上1，由於左移完之後最後一位二進位制位上一定會是0，所以|1等價於+1。
用二進位制運算不是為了裝x,相信我，會快的！
那麼根據線段樹的服務物件，可以得到線段樹的維護:
void push_up_sum(int p)// 向上不斷維護區間操作此處一定要注意，push_up操作的目的是為了維護父子節點之間的邏輯關係。void push_up_min(int p)
當我們遞迴建樹時，對於每乙個節點我們都需要遍歷一遍，
並且電腦中的遞迴實際意義是先向底層遞迴，然後從底層向上回溯，
所以開始遞迴之後必然是先去整合子節點的資訊，
再向它們的祖先回溯整合之後的資訊。
(其實是正確性證明)
實際上push_up是在合併兩個子節點的資訊，所以需要資訊滿足結合律！
那麼對於建樹，由於二叉樹自身的父子節點之間的可傳遞關係，所以可以考慮遞迴建樹，
並且在建樹的同時，我們應該維護父子節點的關係：
void build(ll p,ll l,ll r)為什麼不討論單點修改呢?//如果左右區間相同，那麼必然是葉子節點啦，只有葉子節點是被真實賦值的
ll mid=(l+r)>>1;
build(ls(p),l,mid);
build(rs(p),mid+1,r);
//此處由於我們採用的是二叉樹，所以對於整個結構來說，可以用二分來降低複雜度，否則樹形結構則沒有什麼明顯的優化
push_up(p);
//此處由於我們是要通過子節點來維護父親節點，所以pushup的位置應當是在回溯時。
}
因為其實很顯然，單點修改就是區間修改的乙個子問題而已，
即區間長度為1時進行的區間修改操作罷了
那麼對於區間操作，我們考慮引入乙個名叫「lazy tag」（懶標記）的東西
之所以稱其「lazy」，是因為原本區間修改需要通過先改變葉子節點的值，
然後不斷地向上遞迴修改祖先節點直至到達根節點，
時間複雜度最高可以到達o(nlogn)的級別。
但當我們引入了懶標記之後
，區間更新的期望複雜度就降到了o(logn)的級別
甚至會更低.
分塊的思想是通過將整個序列分為有窮個小塊，對於要查詢的一段區間，總是可以整合成k個所分塊與m個單個元素的資訊的並(0<=k,m<=log(n))
那麼我們可以反過來思考這個問題：
對於乙個要修改的、長度為l的區間來說，
總是可以看做由乙個長度為2^log(⌊n⌋)和剩下的元素（或者小區間組成）。
那麼我們就可以先將其拆分成線段樹上節點所示的區間，之後分開處理：
如果單個元素被包含就只改變自己，如果整個區間被包含就修改整個區間
其實好像這個在分塊裡不是特別簡單地實現，
所以我們不需要區分區間還是元素，加個判斷就好。
首先，懶標記的作用是記錄每次、每個節點要更新的值，也就是delta,
但線段樹的優點不在於全記錄（全記錄依然很慢），而在於傳遞式記錄：
整個區間都被操作，記錄在公共祖先節點上；
只修改了一部分，那麼就記錄在這部分的公共祖先上；
如果四環以內只修改了自己的話，那就只改變自己。
之後，如果我們採用上述的優化方式的話，
我們就需要在每次區間的查詢修改時push_down一次，
以免重複或者衝突或者**
那麼對於push_down而言，
其實就是純粹的push_up的逆向思維(但不是逆向操作)：
因為修改資訊存在父節點上，所以要由父節點向下傳導llazy tag
那麼問題來了：怎麼傳導push_down呢？
這裡很有意思，
開始回溯時執行push_up,因為是向上傳導資訊；
那我們如果要讓它向下更新，就調整順序，
在向下遞迴的時候push_down；
如此簡單....(逃
inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)//我們可以認識到，f函式的唯一目的，就是記錄當前節點所代表的區間
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
push_down(p,l,r);
//回溯之前（也可以說是下一次遞迴之前，因為沒有遞迴就沒有回溯）
//由於是在回溯之前不斷向下傳遞，所以自然每個節點都可以更新到
ll mid=(l+r)>>1;
if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
push_up(p);
//回溯之後
}
那麼單點修改顯然是o(logn)的，
區間修改的話，由於我們的這個區間至多分log(n)個子區間，
對於每個子區間的查詢是o(1)的，所以複雜度自然是o(logn)
不過帶一點常數
沒什麼好說的，由於是資訊的整合，所以還是要用到分塊思想，我實在是不想再碼一遍了qwqqwq
ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
#include#include#define maxn 1000001#define ll long long
using namespace std;
unsigned ll n,m,a[maxn],ans[maxn<<2],tag[maxn<<2];
inline ll ls(ll x)
inline ll rs(ll x)
void scan()
inline void push_up(ll p)
void build(ll p,ll l,ll r)
ll mid=(l+r)>>1;
build(ls(p),l,mid);
build(rs(p),mid+1,r);
push_up(p);
} inline void f(ll p,ll l,ll r,ll k)
inline void push_down(ll p,ll l,ll r)
inline void update(ll nl,ll nr,ll l,ll r,ll p,ll k)
push_down(p,l,r);
ll mid=(l+r)>>1;
if(nl<=mid)update(nl,nr,l,mid,ls(p),k);
if(nr>mid) update(nl,nr,mid+1,r,rs(p),k);
push_up(p);
}ll query(ll q_x,ll q_y,ll l,ll r,ll p)
int main()
case 2:}}
return 0;
}
本文**@
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線段樹模板（模板）
參考部落格 持續更新。外鏈轉存失敗,源站可能有防盜煉機制,建議將儲存下來直接上傳 img xhrgdjcd 1613976863463 區間儲存在陣列中的下標對應為 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四部分單點更新 根據題目的要求編寫自己的pushup，query...
線段樹模板
include include include using namespace std const int size 10010 struct node the node of line tree class linetree void updatem void updateline public ...
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單點更新，區間求最值 include include include include include define n 222222 using namespace std int num n struct tree tree n 4 void push up int root void build...