超大01揹包問題

超大揹包問題：有n個重量和價值分別為w[i]和v[i]的物品，從這些物品中挑選總重量不超過w的物品，求所有挑選方案中價值總和的最大值。其中，1 ≤ n ≤ 40， 1 ≤ w[i], v[i] ≤ 10^15, 1 ≤ w ≤ 10^15.

這個問題給人的第一感覺就是普通的01揹包。不過，看完資料範圍會發現，這次價值和重量都可以是非常大的數值，相比之下n比較小。使用dp求解揹包為題的複雜度是o(nw)，因此不能用來解決這個問題。此時我們應該利用n比較小的特點來尋找其他方法。

挑選物品的方案總共有2^n種，所以不能直接列舉，但是如果將物品分成兩半再列舉的話，由於每部分最多只有20個，這是可行的。我們把前半部分中的挑選方法對應的重量和價值總和記為w1、v1，這樣在後半部分尋找總重w2 ≤ w - w1時使v2最大的選取方法即可。

因此，我們要思考從列舉得到的（w2，v2）集合中高效尋找max的方法。首先，顯然我們可以排除所有價值小重量大的狀態；這一點可以按照w2、v2的字典序排序後做到。此後剩餘的元素都滿足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j]，要計算max的話，只要尋找滿足w2[i] <= w'的最大的i就可以了。這可以用二分搜尋完成，剩餘的元素個數為m的話，一次搜尋需要o(logm)的時間。因為m≤2^(n/2)，所以這個演算法總的時間複雜度是o(n * 2^(n/2))，可以在實現內解決問題。

#include#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
#define n 4005
#define pi 4*atan(1.0)
#define mod 1000000007
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))typedef 
long
long
ll;struct
node
}a[1
<<20
];ll w[n], v[n], w;
intn;
int find(int l, int
r, ll num)
else
r = mid-1
; }
return
ans;
}int
main()
}a[i].w =sw;
a[i].v =sv;
}sort(a, a+(1
<
int m = 1
; 
for(int i=1; i
//去重； ll ans = 0
; 
for(int i=0; i
<
}int index = find(0, m-1, w-sw);///
找到價值最大的容量不超過w-sw；
ans = max(ans, sv+a[index].v);
}printf(
"%i64d\n
", ans);
}return0;
}/*input:
51 3 2
2 4 2
output:
*/

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超大01揹包問題

超大揹包問題（01揹包）

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超大容量揹包問題

超大01揹包問題

超大揹包問題（01揹包）

超大揹包問題

超大容量揹包問題

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