大O法時間複雜度計算

困惑的點——log，如何計算得出？

① 上限：用來表示該演算法可能有的最高增長率。

② 大o表示法：如果某種演算法的增長率上限（最差情況下）是f(n)，那麼說這種演算法「在o(f(n))中」。n為輸入規模。

上限的精確定義：對非負函式t(n)，若存在兩個正常數c和n0，對任意n>n0，有t(n)

——t(n)表示演算法的實際執行時間；

——f(n)是上限函式的乙個表示式。

我們總是試圖給演算法的時間代價找到乙個最「緊」（即最小）的上限，因此一般說順序搜尋法在o（n）中，而不是等於，因為也可以說它在o（n2）中。可以理解為o為上限的集合？

幾個例子：

①sum=0;

for(i=1;i<=n;i++)

sum+=n;

for迴圈執行，時間代價為o（n）。

②sum=0;

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=i;j++)

sum+=n;

內層迴圈執行i次，外層執行n次，但是每一次內層迴圈的時間代價都因i的變化而不同。可以看到，第一次執行外層迴圈時i=1，第二次執行時i=2。每執行一次外層迴圈，i就以1的步長遞增，直至最後一次i=n。因此，總的時間代價是從1累加到n，即，總執行時間為o（c3n2+c2n+c1），可化簡為o（n2）。

③ 雙重迴圈如排序，時間代價也為o（n2），只不過執行時間為第二個程式的兩倍。上例中c3為1/2。

④sum=0;

for (k=1;k<=n;k=k*2) //do log n times;

for (j=1;j<=n;j++) // do n times;

內層迴圈執行次數恒為n。設外層迴圈執行次數為i，則迴圈結束時2i-1=n，i為logn，所以總時間代價為nlogn。

⑤sum=0;

for (k=1;k<=n;k=k*2) //do log n times;

for (j=1;j<=k;j++) // do k times;

外層迴圈同上，依舊是logn次，但內層迴圈次數為k，每次都隨著外層迴圈變數k值的變化而變化。設外層迴圈執行第i次，則k=2i-1，即內層執行2i-1次。外層執行一次內層執行20次，外層執行兩次內層21，一共執行20+21次，以此類推總的執行次數為，最終可化簡為o（n）。

關於大o法可參考：