題解 Luogu Osu！三題 期望

開啟某谷，搜尋osu

luogu p1654

luogu cf235b 

luogu p1365

先%本機房的真·osu！神仙 sto superminivan orz 

三道題都差不多，就當三倍經驗了

大力推式子

設$f[i]$表示以$i$結尾的期望得分，$len$為期望連續的$o$的個數

分類討論：

①當前字母為$o$時，$f[i]=f[i-1]+((len+1)^2-len^2)$ 此時$len+1$

化簡 $=>$ $f[i]=f[i-1]+2*len+1$

②當前字母為$x$時，$f[i]=f[i-1]$ 此時$len=0$ 

③當前字母為?時，為$(①+②)/2$

也就是 $f[i]=f[i-1]+len+0.5$

整理變成$f[i]=f[i-1]+(2*len+1)*p[i]$

其中$p[i]$就是i位置出現o的期望

$o$  $p[i]=1$

$x$  $p[i]=0$

$?$  $p[i]=0.5$

再看$len$怎麼維護，設$x[i]$表示$i$結尾的最後一段連續$o$的個數

同樣可以轉化為$x[i]=(x[i-1]+1)*p[i]$

綜上，轉移方程為

$$f[i]=f[i-1]+(2*x[i]+1)*p[i]$$

code

1 #include2

using
namespace
std;
3#define ll long long
4const
int mod=1e4;
5const
int maxn=1e6+10;6
namespace
gengyf
10while(s>='
0'&&s<='9')
11return f*x;12}
13double
f[maxn],p[maxn],x[maxn];
14string s;int
n;15
intmain()
22for(int i=1;i<=n;i++)
26 printf("
%.4lf
",f[n]);
27return0;
28}29/*
30aggressive 有進取心的
31alert 機敏的
32alliance 聯盟
33alter 修改
34*/35}
36signed main()

沒有$?$且給出出現不同字元的概率，方程同上

code 

1 #include2

using
namespace
std;
3#define ll long long
4const
int mod=1e4;
5const
int maxn=1e6+10;6
namespace
gengyf
10while(s>='
0'&&s<='9')
11return f*x;12}
13double
f[maxn],p[maxn],x[maxn];
14string s;int
n;15
intmain()
22 printf("
%.15lf
",f[n]);
23return0;
24}25/*
26aggressive 有進取心的
27alert 機敏的
28alliance 聯盟
29alter 修改
30*/31}
32signed main()

沒有$?$，平方變成三次方

我:這還不簡單，把$(len+1)^2-len^2$改成$(len+1)^3-len^3$不就行了

???怎麼連樣例都沒過

蒟蒻眉頭一皺發現事情並不簡單

重新推一下式子：

$f[i]=f[i-1]+((len+1)^3-len^3)$  $=>$  $f[i]=f[i-1]+3*(len^2+len)+1$

發現化簡後的式子裡既有二次項也有一次項

需要分別維護

$x[i]$表示一次項的期望，$y[i]$表示二次項的期望

code

1 #include2

using
namespace
std;
3#define ll long long
4const
int mod=1e4;
5const
int maxn=1e6+10;6
namespace
gengyf
10while(s>='
0'&&s<='9')
11return f*x;12}
13double
f[maxn],p[maxn],x[maxn],y[maxn];
14string s;int
n;15
intmain()
23 printf("
%.1lf
",f[n]);
24return0;
25}26/*
27aggressive 有進取心的
28alert 機敏的
29alliance 聯盟
30alter 修改
31*/32}
33signed main()

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