求解兩個字串的最長公共子串行

摘自：

摘自：一，問題描述

給定兩個字串，求解這兩個字串的最長公共子串行（longest common sequence）。比如字串1：bdcaba；字串2：abcbdab

則這兩個字串的最長公共子串行長度為4，最長公共子串行是：bcba

二，演算法求解

這是乙個動態規劃的題目。對於可用動態規劃求解的問題，一般有兩個特徵：①最優子結構；②重疊子問題

①最優子結構

設 x=(x1,x2,.....xn) 和 y= 是兩個序列，將 x 和 y 的最長公共子串行記為lcs(x,y)

找出lcs(x,y)就是乙個最優化問題。因為，我們需要找到x 和 y中最長的那個公共子串行。而要找x 和 y的lcs，首先考慮x的最後乙個元素和y的最後乙個元素。

1）如果 xn=ym，即x的最後乙個元素與y的最後乙個元素相同，這說明該元素一定位於公共子串行中。因此，現在只需要找：lcs(xn-1，ym-1)

lcs(xn-1，ym-1)就是原問題的乙個子問題。為什麼叫子問題？因為它的規模比原問題小。（小乙個元素也是小嘛....）

為什麼是最優的子問題？因為我們要找的是xn-1 和 ym-1 的最長公共子串行啊。。。最長的！！！換句話說，就是最優的那個。（這裡的最優就是最長的意思）

2）如果xn != ym，這下要麻煩一點，因為它產生了兩個子問題：lcs(xn-1，ym) 和 lcs(xn，ym-1)

因為序列x 和序列y 的最後乙個元素不相等嘛，那說明最後乙個元素不可能是最長公共子串行中的元素嘛。（都不相等了，怎麼公共嘛）。

lcs(xn-1，ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

lcs(xn，ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面兩個子問題，得到的公共子串行誰最長，那誰就是 lcs（x,y）。用數學表示就是：

lcs=max

由於條件 1) 和 2) 考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功地把原問題轉化成了三個規模更小的子問題。

②重疊子問題

重疊子問題是啥？就是說原問題轉化成子問題後，子問題中有相同的問題。咦？我怎麼沒有發現上面的三個子問題中有相同的啊？？？？

ok，來看看，原問題是：lcs(x,y)。子問題有 ❶lcs(xn-1，ym-1) ❷lcs(xn-1，ym) ❸lcs(xn，ym-1)

初一看，這三個子問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，因為它們只重疊了一大部分。舉例：

第二個子問題：lcs(xn-1，ym) 就包含了：問題❶lcs(xn-1，ym-1)，為什麼？

因為，當xn-1 和 ym 的最後乙個元素不相同時，我們又需要將lcs(xn-1，ym)進行分解：分解成：lcs(xn-1，ym-1) 和 lcs(xn-2，ym)

也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。

由於像lcs這樣的問題，它具有重疊子問題的性質，因此：用遞迴來求解就太不划算了。因為採用遞迴，它重複地求解了子問題啊。而且注意哦，所有子問題加起來的個數可是指數級的哦。。。。

這篇文章中就演示了乙個遞迴求解重疊子問題的示例。

那麼問題來了，你說用遞迴求解，有指數級個子問題，故時間複雜度是指數級。這指數級個子問題，難道用了動態規劃，就變成多項式時間了？？

呵呵噠。。。。

關鍵是採用動態規劃時，並不需要去一一計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規劃之後，有些子問題是通過「查表「直接得到的，而不是重新又計算一遍得到的。廢話少說：舉個例子吧！比如求fib數列。關於fib數列，可參考：

求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)時，又分解了一系列的小問題....

從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重疊的！！！比如，對於 fib(2)，它就一共出現了三次。如果用遞迴來求解，fib(2)就會被計算三次，而用dp(dynamic programming)動態規劃，則fib(2)只會計算一次，其他兩次則是通過」查表「直接求得。而且，更關鍵的是：查詢求得該問題的解之後，就不需要再繼續去分解該問題了。而對於遞迴，是不斷地將問題分解，直到分解為基準問題(fib(1) 或者 fib(0))

說了這麼多，還是要寫下最長公共子串行的遞迴式才完整。借用網友的一張圖吧：）

c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最長公共子串行的長度。（是長度哦，就是乙個整數嘛）。公式的具體解釋可參考《演算法導論》動態規劃章節

這張dp表很是重要，從中我們可以窺見最長公共子串行的**，同時可以根據這張表列印出最長公共子串行的構成路徑

最長公共子串行列印路徑的模板遞迴法：

1 #include2 #include3 #include4
using
namespace
std; 5
const
int n = 1010; 
6char
a[n],b[n]; 7
intdp[n][n]; 8
intflag[n][n]; 9
void print(int i,int
j)10
15if(!flag[i][j])
1620
else
if(flag[i][j]==1)21
24else
if(flag[i][j]=-1)25
28}29int
main()
3047
else
4854
else
5559}60
}61}62
print(lena,lenb);63}
64return0;
65 }

view code

非遞迴，在這裡因為是逆序的回溯，所以我使用了棧來儲存路徑

1 #include2 #include
3 #include4 #include5
using
namespace
std;
6#define n 1010
7int
dp[n][n];
8charc;9
intmain()
1026}27
int i=la,j=lb;
28 stacks;
29while
(dp[i][j])
3035
else
if(dp[i][j]==dp[i][j-1])///
來自於上方向
3639
else
if(dp[i][j]>dp[i-1][j-1])///
來自於左上方向
4045}46
while(!s.empty())
4752
return0;
53 }

求解兩個字串的最長公共子串行

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求解兩個字串的最長公共子串

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