同濟版《高等數學第七版》中有對函式連續性有如下敘述：
其中為了用第二種方式來定義函式連續性而作出了如下說明：
容易看出，上圖內容更多地是從直觀的角度上進行分析，以幫助我們理解第二種定義與第一種定義之間的等價關係。
直觀有直觀的好處，因為若是真要將其中緣由說清楚，可能會要牽扯出更加複雜、抽象的數學知識。事實上，《微積分學教程第8版》中並未對兩種定義之間的關係進行說明而是直接給出結論，而《普林斯頓微積分讀本》中甚至忽略了第一種定義而直接給出函式極限形式的連續性定義。
同時，直觀又有直觀的不足，直觀的不足就在於它更多地是「憑感覺」，而「憑感覺」的結果就是似懂非懂，而這樣一種狀態，對於追求準確的朋友來說是難以接受甚至是難以忍受的。
所以下面嘗試進一步解釋該說明並在最後對「ε-δ」形式的表述作出分析。僅僅是個人理解而已，希望能幫到有需要的人：
首先，我們的目的其實是從\(\lim\limits_[f(x_+δx)-f(x_)]=0\)推出\(\lim\limits_} f(x)=f(x_)\)。
現在\(\lim\limits_[f(x_+δx)-f(x_)]=0\)是已知條件。另外，\(δy=f(x_+δx)-f(x_)\)是我們之前作出的說明，它其實表示的是乙個自變數為δx，因變數為δy的函式。
由\(δy=f(x_+δx)-f(x_)\)知\(f(x_+δx)=f(x_)+δy\)，令\(t=x_+δx\)，則當\(δx→0\)，\(t→x_\)，故由復合函式的極限運算法則，有\(\lim\limits_ f(x_+δx)=\lim\limits_}f(t)\)，又\(f(x_+δx)=f(x_)+δy\)，故\(\lim\limits_}f(t)=\lim\limits_[f(x_)+δy]=f(x_)+\lim\limits_δy=f(x_)+\lim\limits_[f(x_+δx)-f(x_)]=f(x_)\).
因為我們通常用x來表示自變數，也就是定義域中的具體數值，而字母只是對具體值的表示，函式則是對定義域中的值與值域中的值之間對映關係的描述，所以換乙個字母並不改變函式的內涵，於是我們將t換成x也就得到了我們想要證明的結論.
有人可能要說了，由復合函式的極限運算法則：
知，在上面的證明過程中運用復合函式的極限運算法則需要假設極限\(\lim\limits_}f(t)\)存在，是不是存在極限\(\lim\limits_}f(t)\)不存在的情況？
答案是不會，因為假設極限\(\lim\limits_}f(t)\)不存在，即當自變數\(t\rightarrow x_\)，函式\(f(t)\rightarrow ∞\)(注意，因為討論函式在某點連續的前提是假設函式在該點的某一去心鄰域有定義，所以這裡預設函式在\(x_\)的鄰域內有定義，也就是說函式極限不存在的情況只能是函式極限為無窮大而不是函式在去心鄰域內無定義。這個假設不影響我們討論函式連續性)，而當\(f(t)\rightarrow ∞\)，\(\lim\limits_ [f(x_+δx)-f(x_)]\)也一定為無窮大，所以\(\lim\limits_ [f(x_+δx)-f(x_)]=0\)必定有極限\(\lim\limits_}f(t)\)存在.
好，現在我們已經從\(\lim\limits_[f(x_+δx)-f(x_)]=0\)推出\(\lim\limits_}f(x)=f(x_)\)，接下來我們由\(\lim\limits_}f(x)=f(x_)\)推\(\lim\limits_[f(x_+δx)-f(x_)]=0\)：
同樣是由復合函式的極限運算法則，若\(\lim\limits_} f(x)=f(x_)\)，則有\(\lim\limits_[f(x_+δx)-f(x_)]=\lim\limits_}[f(x)-f(x_)]=\lim\limits_}f(x)+f(x_)=0\)（其中將\(x=x_+δx\)視作復合函式極限運算法則之中的中間變數），證畢.
好了，至此我們已經證明了\(\lim\limits_[f(x_+δx)-f(x_)]=0\)是\(\lim\limits_}f(x)=f(x_)\)的充分必要條件。所以可以認為這兩種定義是等價的。
因為所學知識有限，基本上只能夠解釋到這個地方。事實上，這裡是否真的等價還是乙個值得繼續討論的問題，因為等價實際上有著嚴格的定義，有興趣的可以去百科看一下。
不過也罷，畢竟學數學更多地是為了使用，而不是為了追求極致的真理（雖然追求真實也很重要），另外，不見得我們此刻自認為想清楚了一切，關於該問題就不再存在任何疑惑與奧秘，像其他很多理論一樣（如果將數學看做是一種理論的話），數學也需要有乙個實證的過程，既然這裡的兩個不同定義已經歷過了多年的實證考驗而無人有異議，那麼它多多少少也算是值得信賴了，這種值得信賴的感覺，對我來說至少已經足夠令人感到踏實了。
至於「ε-δ」形式的表述，其實我們完全可以將其表述為下面這一種說法：
對於任意的ε>0，存在δ>0，使得當\(0
可大家都明白，上面的表達方式其實並不簡潔，而不夠簡潔的數學表述不僅不便於交流，而且有時也容易出錯，那麼，是不是有更簡潔的表述方式呢？讓我們回到最初形式的定義：
在上面的表述中，前面一部分其實是對中方框中的部分也就是\(\lim\limits_}f(x)=f(x_)\)的說明，而括號中的部分其實無非就是為了說明上圖中的劃線部分，也就是\(f(x)\)在\(x_\)的某一領域內有定義，
那麼，\(\lim\limits_}f(x)=f(x_)\)已經說明了函式在\(x_\)的某一去心鄰域內有定義，接下來該如何簡單地表達函式\(f(x)\)在\(x_\)處有定義且函式值為\(f(x_)\)呢，
我們都知道，\(f(x)\)在\(x_\)處有定義且函式值為\(f(x_)\)其實就是\(f(x)|_}=f(x_)\)，即\(f(x)|_}-f(x_)=0\)，也就是函式在\(x=x_\)時有定義，且函式值為\(f(x_)\)，或者說當\(x-x_=0\)，\(f(x)|_}-f(x_)=0\)，
相信你已經發現了函式\(f(x)\)在\(x_\)有定義與「ε-δ」形式的表述之間的關係，事實上，對於任意的ε>0，存在δ>0，使得當\(|x-x_|0，因\(x-x_=0\)恆滿足\(|x-x_|
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