學習筆記 day3 一些雙指標的題

參考部落格：

序列，非負，問和不小於\(s\)的最短子串的長度，雙指標掃瞄\(o(n)\)複雜度。

類似上一題，找最短的區間使其包含\([1,m]\)的整數。

給乙個序列，詢問區間和小於\(t\)的子區間個數，\(n\leq 2e5\)。

有\(s_r-s_，對於每個\(s_r\)即查詢有多少個\(l\)滿足\(s_>s_r -t\)，可以直接暴力地寫個動態開點的值域線段樹（或者對所有\(2n\)個數進行離散化寫普通的線段樹）。

另外這裡還可以這麼轉化：考慮對區間進行分治，即\([l,r]\)內有多少個\(p,q(p，不難想到這樣的數對的個數來自於\([l,mid],[mid+1,r]\)的答案再加上跨越\(mid\)的區間的答案，前面兩個直接遞迴計算，中間這一段類似歸併排序。

這裡稍微把\(l-1,r\)轉化成了\(p,q\)以避免\(s\)排序後出現的一些問題（\(s_\)可能會取到不正確的位置）

上古cf，大意是\((0,0)\)處有乙個炮台，現在打出\(n\)個炮彈，每個炮彈速度都是\(v\)，夾角\(\alpha\in(0,\frac)\)，有\(m\)堵垂直\(ox\)軸的牆，詢問每個炮彈最後停在那裡（只要撞到牆或者地就停下來），\(n\leq 10^4,m\leq 10^5\)。

因為是很老的題，其實直接寫\(o(nm)\)的暴力也卡得過去（

不過還是有些性質可以看看：利用一些高中物理知識可以很容易注意到單調性。（速度一定的情況下斜拋）

比如我們可以算出來拋物線的軌跡\(\beginy=x\tan \alpha -\fracx^2\end\),對應的零點除了\(x=0\)還有乙個\(x=\frac\sin(2\alpha)\)，這個東西在\(\alpha\in(0,\frac)\)內是單調遞增的，也就是角度越大拋得越遠。

同時最高點的縱座標也能算出是\(\beginy_m=\frac=\frac(1-cos(2\alpha))\end\),也是單調的，那這題就很愉快了，對炮彈按照角度從小到大排序，對於一堵牆來說，如果角度小的能過，那麼角度大的一定能過，雙指標掃瞄炮彈和牆。

時間複雜度\(o(n\log n+m\log m)\)。