2 sat學習筆記（補檔

重學2-sat

給定乙個布林方程，判斷是否存在一組布林變數能滿足這個方程，方程的可行解被稱為\(sat\)。這個問題是\(np-hard\)的。但是如果我們對這個問題加上一些限制，就可以在多項式時間內求解了。設乙個布林方程為：

\((a_1\lor a_2\cdots\lor a_n) \land (b_1\lor b_2\cdots\lor b_n) \cdots\)

如果乙個布林方程滿足\(n<=2\),那麼這就是乙個\(2-sat\)問題。

因為每個布林變數只有兩種取值，所以我們可以將每個布林變數拆成兩個點後建圖。設將\(x\)拆成\(x\)和\(x'\)。\(x\)表示變數\(x\)值為真，\(x'\)表示變數\(x\)值為假。

如果從\(a\)的值，我們能推出\(b\)的值。那我們就在圖中連一條有向邊。比如乙個布林方程方程：\((a_1\lor a_2)\)，我們發現如果\(a_1\)為假，那麼\(a_2\)一定為真；同理如果\(a_2\)為假，那麼\(a_1\)一定為真。於是我們在圖中建兩條有向邊：\(a_1'->a_2\)和\(a_2'->a_1\)。這就是最基本的\(2-sat\)建圖方法。

對於乙個變數\(x\)，如果點\(x\)和點\(x'\)在同乙個強連通分量中，那麼顯然這個布林方程無解，因為此時\(x\)的值既要為真，又要為假。

如果乙個布林方程存在一組解，對於點\(x\)，如果\(x\)的拓撲序在\(x'\)之後，那麼答案就是\(x\)取真。反之，\(x\)就取假。因為這樣能夠避免衝突，構造出一組可行解

先在圖中求一遍強連通分量。可以用\(kosaraj\)或者\(tarjan\)。注意\(kosaraju\)中強連通分量編號的順序就是該圖強連通分量的拓撲序。而在\(tarjan\)則是強聯通分量編號順序則和該圖強連通分量拓撲序相反。

**中強聯通分量用\(kosaraju\)求解

graph::kosaraju();
for (int i = 1; i <= n; ++i) 
}puts("possible");
for (int i = 1; i <= n; ++i)

題意

求解\(2-sat\)問題

題解

對每種情況分別連邊即可。設當前兩個變數分別為\(a\)和\(b\)

\(\begin

a'->b, b'->a & a真b真\\

a'->b', b->a & a真b假 \\

a->b, b'->a' & a假b真 \\

a->b', b->a' & a假b假

\end\)

然後按照上面講的方法跑\(kosaraju\)求解即可。

// author: 23forever
#include #define pb push_back
#define pii pair#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
const int maxn = 2000000;
using namespace std;
inline int read() 
while (isdigit(c)) 
return x * w;
}int n, m, bel[maxn + 5];
namespace graph 
edge(int _to, int _nxt) : to(_to), nxt(_nxt) {}
} edge[maxm + 5], redge[maxm + 5];
int tot, head[maxn + 5], rtot, rhead[maxn + 5];
inline void addedge(int u, int v) 
inline void init() 
vector < int > vec;
bool vis[maxn + 5];
void dfs1(int u) 
vec.pb(u);
}void dfs2(int u, int cnt) 
}void kosaraju() 
memset(vis, false, sizeof(vis));
int cnt = 0;
for (int i = vec.size() - 1; ~i; --i) }}
void init() else if (a && !b) else if (!a && b) else 
}}int main() 
} puts("possible");
for (int i = 1; i <= n; ++i) 
return 0;
}

題意

每個變數有兩種取值，所以問題就是求解乙個\(2-sat\)

題解

\(\begin

a'->b, b'->a & a:h,b:h\\

a'->b', b->a & a:h,b:m \\

a->b, b'->a' & a:m,b:h \\

a->b', b->a' & a:m,b:m

\end\)

只要看有沒有\(x\)和\(x'\)在同乙個強聯通分量即可。

// author: 23forever
#include typedef long long ll;
const int maxn = 200;
using namespace std;
inline int read() 
while (isdigit(c)) 
return x * w;
}int n, m, bel[maxn + 5], scc_num;
namespace graph 
edge(int _to, int _nxt) : to(_to), nxt(_nxt) {}
} edge[maxm + 5];
int tot, head[maxn + 5];
inline void addedge(int u, int v) 
inline void init() 
int dfn[maxn + 5], low[maxn + 5], idx;
bool in_sta[maxn + 5];
stack < int > sta;
void dfs(int u) else if (in_sta[v]) 
} if (dfn[u] == low[u]) while (k != u);
}} void tarjan() }}
void init() else if (c1 == 'h' && c2 == 'm') else if (c1 == 'm' && c2 == 'h') else 
}}int main() 
}if (!f) puts("good");
} return 0;
}

求解\(2-sat\)問題其實是通過巧妙的建圖方法來解決。這種能推出就拉邊的思想十分常見。在並查集相關題目中也能見到。值得積累。

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