BZOJ 3156 防禦準備

第一行為乙個整數n表示戰線的總長度。

第二行n個整數，第i個整數表示在位置i放置守衛塔的花費ai。

共乙個整數，表示最小的戰線花費值。

102 3 1 5 4 5 6 3 1 2

181<=n<=10^6,1<=ai<=10^9

這道題顯然是一道dp的題。一眼看去，顯然可以令$f_i$表示第$i$個位置放防禦塔的費用(先說明一下，為了方便計算，我把序列反向後從左到右計算)，令$w_x=\sum_^i$，那麼顯然有：$f_=\min\\}+a_$。然而這是個$n^2$的dp方程，那麼怎麼做呢？翻了翻網上的題解，發現幾乎都寫了斜率優化。然而xzy神犇告訴我決策單調性可做。

怎麼做呢？不難發現對於位置$i$有兩個決策$j,k(j若對於$jf_k+w_$

因為$ji$有$w_-w_>w_-w_$

所以$f_j+w_>f_k+w_$

於是我們就可以做了。我們維護乙個單調佇列，每次先把隊首用不到的區間先彈掉，再用隊首元素來更新當前答案，最後用這個解來更新後面的解。當我們發現對於隊尾區間的左端點當前解比佇列中儲存的解更優時，我們可以直接把這個區間給彈掉(想一想，為什麼)。這樣彈完以後，若佇列中已經沒有區間，我們就可以將當前解的區間直接加入佇列；否則當前解最優的邊界就在隊尾的區間中，我們需要在這個區間內二分把這乙個邊界給找出來，然後更改這個區間的右邊界並插入區間。

這道題是我練習決策單調性優化dp的第一題，對於新手來說還是有一點難度的。**如下：

1 #include2 #include3
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
4#define maxn 1000010
5#define inf (1ll<<50)67
using
namespace
std;
8 typedef long
long
llg;910
intn,a[maxn],l[maxn],r[maxn],x[maxn],lz,rz;
11llg f[maxn];
1213
intgetint()
2122 inline llg sum(int j,int i)
2526
intmain()
44 r[rz-1]=ll-1; l[rz]=ll,r[rz]=n+1,x[rz++]=i;//
修改並插入45}
46}47 printf("
%lld
",min(f[n],f[n+1
]));
48return0;
49 }

view code

upd：斜率優化做法：

其實這個式子可以推一推。由於$w_x=\frac$，所以有：$f_i=\min\ \}+a_i$

於是對於某乙個$j$，有$2f_i-i^2+i-2a_i=2f_j+j^2+j-2ij$

這就是個很顯然的斜率式了。由於$i$、$j$單增，用乙個單調佇列維護下凸包即可。

**如下：

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include6
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
7#define maxn 100001089
using
namespace
std;
10 typedef long
long
llg;
1112
struct
datas[maxn];
15int
n,a[maxn],d[maxn],l,r;
16llg f[maxn];
1718
intgetint()
2627 llg ji(int x)
28double
xie(data x,data y)
3233
intmain()
46 printf("
%lld
",min(f[n],f[n+1
]));
47return0;
48 }

view code

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