讓計算機很快地求出a b c

讓計算機很快地求出ab

暴力相乘的話，電腦要計算 b 次。用快速冪，計算次數在 log 2(b) 級別，很實用。

原理 i

(1)如果將 a 自乘一次，就會變成 a2 。再把 a2 自乘一次就會變成 a4 。然後是 a^8

…… 自乘 n 次的結果是 a^2 n

(2)axay = ax

+y，這個容易。

(3)將 b轉化為二進位制**一下：

比如b=(11)10 就是 (1011) 2 。從左到右，這些 11 分別代表十進位制的 8,2,18,2,1。可以說 a11= a8 × a2 × a1

為什麼要這樣表示？因為在快速冪的過程中，我們會把 a 自乘為 a^2

，然後 a2a 自乘為 a4……像上面第一條說的。

過程會是這樣：

（好長，可以不看，如果要閱讀下面的模擬過程的話，要慢慢地看噢）·假設我們拿到了 a，並且 b=11。想求 a^11 ，但是又不想乘11次，有點慢。·以電腦視角稍稍觀察一下 b=11，二進位制下是 b=1011。·製作乙個 base。現在 base=a，表示的是，a1 = a。待會base會變的。·製作乙個 ansans，初值 11，準備用來做答案。

while(b > 0)

·迴圈二，再看看 b，最後一位還是 1。這說明有「 ×a 2 」，ans∗=base。繼續努力，通過 base∗=base 讓自己變成了 a 4 。然後 b 也右移一位,b=10。迴圈三，可是 b 的最後一位不再是 1 了，說明不存在「 × a4 」。base 自我昇華，達到了 a8 。且 b>>=1。這一步中，答案沒有增加，可是畢竟 b>0，還有希望。·迴圈四，b 的最後一位是 1，這說明「 ×a8 」的存在。ans *= base。由於 b 再右移一位就是 0 了，迴圈結束。

總的來說，如果 b在二進位製上的某一位是 1，我們就把答案乘上對應的。不懂的話，請結合**理解~

實現

int quickpower(int a, int b)//是求a的b次方
return ans;
}

取餘運算

快速冪經常要結合取餘運算。這裡也講一點。

取餘運算有一些好用的性質，包括：

(a+b) \mod b = (a \mod b + b \mod b) \mod b

(a×b) \mod b = ((a \mod b) × (b \mod b)) \mod b

證明都很簡單，如果要說服自己的話拿起筆試試吧。可設 a = k_a × b + r_a

於是快速冪過程中可以

while(b > 0)
base *= base;
base %= m;
b >>= 1;
}

能保證這樣下來最後的結果與「先乘到最後，再取餘」的結果一樣。

讓計算機很快地求出a b c

讓計算機思考

求出計算機的最大遞迴深度

C 讓計算機自動重啟

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