網路流二十四題

開始了我的網路流 $24$ 題之旅，寫在一起到時候方便一起複習哦。

其實這並不是真的二十四題，有一些過於水的我就不寫上來了。然後有的**太水了就不寫了。

感覺這些題目還是比較基礎的，方法卻值得借鑑！

剩餘題目：航空路線問題、火星探險問題以下

題目描述

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解法

你發現時間是最大的障礙，因為對於不同的時間飛船的行駛是不同的。

但是你發現資料小得一批，如果我們每次都運乙個人的話，並且花最多的時間等飛船，可以計算出時間的上界是 $n^2m$ ，這給了我們一些暴力思想的可能，不妨在每個時間都建出這張圖，構圖方法如下：

一開始我們可以用並查集判斷有無解，然後我們邊列舉答案邊構圖，邊跑最大流。如果最大流大於等於 $k$ 就表示可以把 $k$ 個人運到終點了，得到了答案。好像不怎麼難啊

#include #include using namespace std;
const int n = 55;
const int m = 200005;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int read()
int n,m,k,mx,tot,ans,s,t,f[m],cur[m],dis[m],h[n],r[n],fa[n],a[n][n];
struct edge
e[2*m];
int find(int x)
void merge(int u,int v)
void add(int u,int v,int c)
,f[u]=tot;
e[++tot]=edge,f[v]=tot;
}bool bfs()
} }return 0;
}int dfs(int u,int ept)
} return flow;
}int main()
for(int i=1;i<=n+1;i++)
add((ans-1)*(n+1)+i,ans*(n+1)+i,inf); 
}}

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最大權閉合子圖問題，有 $n$ 個正權點，$m$ 個負權點，正權點和負權點之間有邊，表示選了這個正權點之後必須選相連的負權點，如果滿足這個條件就稱為閉合，求最大權值。

$n,m\leq50$

解法

這是乙個經典模型，在題目描述裡面已經介紹了一些概念，我們這樣建圖：

然後求出最小割，答案是正權點權值 $-$ 最小割。

現在來證明為什麼，要明確乙個至關重要的結論：乙個點要麼和 $s$ 聯通，要麼和 $t$ 聯通。首先中間些容量為 $inf$ 是斷不掉的，不用管它們，考慮如果乙個點既不能連向 $s$ 又不能連向 $t$ ，如果是正權點，那麼可以不斷掉和 $s$ 的連邊，如果是負權點可以不斷掉和 $t$ 的連邊，由於是最小割，但是在同樣在不連通的情況下卻多斷了點，矛盾，反證成立。

然後考慮正權點和 $s$ 不斷邊的意義是選取這個正權點，負權點不斷邊的意義是不選這個負權點，由於要保證不連通性那麼選了正權點他相連的負權點就不會選，所以滿足了閉合的條件。然後考慮是否滿足最大化答案，答案可以表示為正權點權和 $-$ 沒選取的正權點 $-$ 選取了的負權點。發現我們求的就是 $\min\$ ，所以也滿足最大哦。

這個模型挺有意思的，但是如果不知道這個模型做題就有點麻煩，其實可以最大流和最小割都試一試，看哪個滿足題目條件，也可以把點的順序交換一下（一開始我源點連器材就死活想不出來）

題目描述

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解法

這道題看到沒什麼思路，但是我們可以用調整法。也就是一開始的路徑都是只經過單點的，我們把它調整得更優。很多題都是這樣的，沒什麼思路的時候一定要試一試調整法，它的解決範圍是很廣的。

考慮用網路流來實現這個調整的過程，我們把每條路徑拆成 $y$ 前端和 $x$ 後端。如果 $(i,j)$ 有一條有向邊那麼就可以把 $i$ 的 $x$ 連向 $j$ 的 $y$ ，如果這一條邊上有流量那麼就表示我們把 $i$ 和 $j$ 接在一起了，構圖方法如下：

最後會是 $y-x-y-x-y-x$ 之類的路徑覆蓋，如果我們跑最大流的話就可以得到最小路徑覆蓋。輸出方案數的話就看哪條邊是使用過的，如果你弄懂了上面那些肯定就會輸出方案啦！

題目描述

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解法

做到這道題我才發現乙個很重要的東西：有些題是不能直接根據題目意義網路流的，要先把他用圖論表示出來，然後這個圖論問題的解決可能使用到網路流，這位大佬的思路實在是太強了！

首先柱子是辣雞，基本上沒卵用，你會發現關鍵還是在數，我們把具有完全平方數關係的兩個點 $(x,y)$ 連一條有向邊，就可以得到一張圖，要注意的是 \(x，這種圖稱為隱式圖，比如樣例的圖長這樣：

那麼問題變成了我們選出 $n $ 條路徑使得能覆蓋 $[1,ans]$ 的所有點，貌似不是很好做。因為 $n$ 很小，所以到了後面選數就很容易沒位置填，所以 $ans$ 不會很大。我們可以列舉 $ans$ ，那麼問題就變成了 $[1,ans]$ 的點都能被覆蓋的路徑數 $\leq n$ 的最大的 $ans$ ，這就轉化成了最小路徑覆蓋問題

題目描述

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解法

我覺得上一道題那位大佬介紹的方法真是太好用啦！

首先跑 $dp$ ，設 $dp[i]$ 為以 $i$ 為結尾的最長不下降子串行長度。然後我們構建出圖論模型，對於 $i，如果 \(dp[j]+1=dp[i]$ 那麼我們就把連一條 $(i,j)$ 的邊，問題轉化成了：取出若干條不相交的長度為 $\max$ 的路徑，要求最大化路徑數量。

可以用網路流來完成這個最大化的過程，我們把每個點分成 $x$ 端和 $y$ 端，這樣建圖：

然後第二問就解決了，第三問就修改網路中的這些邊容量無限： $(s,x_1),(x_1,y_1),(x_n,y_n),(y_n,t)$ ，就表示這兩個點可以無限使用，寫著很簡單，**就不給了。

題目描述

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解法

套路題，遇到矩陣之類的題都要注意一下了，我們可以按奇偶性來劃分原矩陣，然後把這個問題轉化為二分圖。也就是 $i+j$ 為奇數的就歸到 $x$ 部，$i+j$ 偶數就歸到 $y$ 部，本題 $x$ 部連 $y$ 部表示選了 $x$ 部的這個點就不能選 $y$ 部的那個點。這個題感覺和最大權閉合子圖問題有點像，我們可以這樣構圖：

然後跑最小割，還是因為乙個點必須和 $x$ 聯通或者 $y$ 聯通，斷掉某一條邊就表示不選這條邊的對應點。那麼要求斷掉的邊權值最小，那麼就跑最小割。

題目描述

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解法

特別經典的模型，而且特別有用，我給它起了個名字：補流模型

為什麼我們要這樣取名呢？當我們把餐巾當成容量，然後跑費用流。如果我們流到匯點之後，這個流量就消失了，但是我們還需要這個流量，因為餐巾是可以被洗乾淨的，所以我們選擇從源點補充這些被匯點拿走的流量，就達到了重複利用餐巾的效果，具體這樣建圖：

題目描述

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解法

和[noi2008]志願者招募是乙個模型，我們可以把區間看成 $[l_i,r_i)$ ，這樣我們就只用考慮整數點了，本題的要求是對於每個點不能超過 $k$ 次覆蓋。

我們講所有整數點排成一排，源點連第乙個整數點，匯點連第二個整數點，相鄰兩個連邊，容量為 $k$ ，費用為 $0$ ，這是一開始的狀態。

然後考慮加入我們的區間，我們講 $l_i$ 和 $r_i$ 連一條容量為 $1$ ，費用為 $r_i-l_i$ 的邊，表示使用了這個區間就會給 $[l_i,r_i)$ 都減少 $1$ 的流量。由於流量是 $k$ 且不可能減到負數，所以限制成功地在圖上被表示了出來。然後發現本題只有端點的整數點有用，所以一開始需要離散化。

題目描述

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解法

和上面的那一道題一樣，就是長度的計算方式變了一下？

不不不，我們上一道題保證了 $l，但是這道題會出現 \(l=r$ 的情況。對於線段 $(l,l)$ 和 $(l,r)$ 理應在 $l$ 點不相交，但是我們把管轄的區間設為 $[l,l)$ 和 $[l,r)$ 就會判成相交了，所以並不完全等價。

遇到這種衝突我們考慮擴域，把每個線段變成 $(2l,2r)$ ，對於 $l=r$ ，把他管轄的區間設為 $[2l,2l+1)$，對於其他線段，要避免判成相交，我們就把它管轄的區間設為 $[2l+1,2r)$ ，就很巧妙地解決了衝突。

網路流二十四題

網路流二十四題之分配問題

網路流二十四題之航空路線問題

網路流二十四題之星際轉移問題

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網路流二十四題之分配問題

網路流二十四題之航空路線問題

網路流二十四題之星際轉移問題

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