其實我字尾自動機在 \(2020/2\) 的時候就會了，刷了很多題，但是一直沒有搞懂原理，現在補一發關於字尾自動機原理的部落格。我盡量節約時間，把最重要的東西寫的盡量好理解。
我是看這位巨佬的部落格學的，所以會有一些重合的地方，但是我會按照我自己的理解寫（仔細看你會發現我們的表述相差很大），爭取達到乙個優化的效果。
這才是究極大暴力，學會了之後隨便切很多字串毒瘤題。
他主要幹的事情是維護乙個字串中的所有子串，但是基礎複雜度卻能保證是 \(o(n)\) ，此外還有很多優美的性質 \(....\) 原諒我現在沒有辦法一一向你介紹，具體可以看最後的部分字尾自動機應用
中心思想是 \(\tt endpos\) ，也就是維護子串的出現結束位置集合。
\(\tt endpos\) 有很多優美的性質，且看我一一向你介紹。
結論1：\(\tt endpos\) 相同的兩個字串 \(a,b\;(|a|\leq |b|)\) ，滿足 \(a\) 一定是 \(b\) 的字尾。
這麼明顯的結論為什麼不感性理解呢？
證明的話考慮他們 \(\tt endpos\) 完全相同，那麼 \(b\) 出現的話一定會連帶著 \(a\) 出現。對於每個結束位置都如此，不難發現 \(a\) 是 \(b\) 的字尾。
現在你應該能感知到為什麼要叫字尾自動機，因為 \(\tt endpos\) 會連帶著一些關於字尾的性質。
結論2：對於兩個字串 \(a,b\;(|a|\leq |b|)\) ，那麼要麼 \(\tt endpos(b)\subseteq endpos(a)\) ，要麼 \(\tt endpos(a)\cap endpos(b)=\empty\)
其實也很好感性理解呀！
我們就要證明不會出現相交的情況，使用反證法，假設出現了相交。那麼 \(b\) 出現的某些地方會出現 \(a\) ，\(b\) 出現的另一些地方又不會出現 \(a\) ，顯然矛盾，所以只會有包含或者是不交的情況。
結論3：對於 \(\tt endpos\) 相同的子串，我們將其歸為乙個 \(\tt endpos\) 等價類，對於每乙個等價類按長度排序，每乙個子串的長度都等於上乙個字串的長度\(+1\)
好顯然啊！
我們假設這個等價類中最長的子串是 \(len\) ，那麼最短的子串是 \(jzm\) ，顯然 \(jzm\) 是 \(len\) 的乙個字尾。那麼既然 \(jzm\) 都可以被劃分到這個等價類中，所以長度在他們中間的一定都會劃分到這個等價類中。
有了這個結論，我們可以用 \(len(i)\) 表示第 \(i\) 個 \(\tt endpos\) 等價類的很多資訊了，也就是我們只需要維護等價類中最長的子串。
結論4：\(\tt endpos\) 等價類的個數為 \(o(n)\)
這個結論是字尾自動機複雜度得到保證的關鍵，我不敢再說顯然了
我們考慮用樹形關係來表示 \(\tt endpos\) 之間的聯絡，如果 \(i\) 等價類是 \(j\) 等價類的父親，那麼 \(i\) 等價類的所有子串都是 \(j\) 等價類所有子串的字尾。而因為結論 \(2\)，我們知道 \(i\) 的所有兒子 \(j\) 所表示的 \(\tt endpos\) 集合一定是不交的。
這樣可以用一種劃分關係來理解這個樹形結構，也就是我們會把 \(i\) 的 \(\tt endpos\) 劃分分給他的兒子。一共只會劃分 \(n-1\) 次就可以到達底層，而 \(1\) 個點的作用相當於劃分了一次，所以點數 \(o(n)\)
我們把這樣的樹形關係叫做 \(\tt parent\;tree\) ，這棵樹就是字尾自動機的關鍵。
上面的結論主要是說明了字尾自動機的可行性和一些關鍵特徵，現在我們來解決具體的構建。
字尾自動機之所以叫自動機，是因為他也有所謂的轉移，就像 \(\tt ac\) 自動機一樣。
字尾自動機的轉移是這個意思：在這個點的子串後面加上乙個字元 \(c\) 所能到達的點（子串的長度要盡量短）。如果我們能構造出轉移，那麼這個自動機就很好用了。現在我們先來看**吧，我會逐一講解**：
void add(int c)
}}
int p=last,np=last=++cnt;val[cnt]=1;
a[np].len=a[p].len+1;
for(;p && !a[p].ch[c];p=a[p].fa) a[p].ch[c]=np;
if(!p) a[np].fa=1;
int q=a[p].ch[c];
if(a[q].len==a[p].len+1) a[np].fa=q;
int nq=++cnt;
a[nq]=a[q];a[nq].len=a[p].len+1;
a[q].fa=a[np].fa=nq;
for(;p && a[p].ch[c]==q;p=a[p].fa) a[p].ch[c]=nq;
那麼現在就滿足字尾關係了，\(q\) 和 \(np\) 的父親都可以直接賦值為 \(nq\)
現在也不要忘了更新轉移喲，對於 \(p\) 以及 \(p\) 的祖先中轉移是到 \(p\) 點的話，現在轉移就要改成 \(nq\) 點了。結合轉移的定義就知道我們要找的是長度最小的點，所以肯定轉移到 \(nq\) 啊。
現在進入喜聞樂見的複雜度證明環節：由於邊數和點數都是 \(o(n)\) 的，觀察所有的操作發現時間複雜度 \(o(n)\)
我現在做這道題發現有手就行：字串問題
會慢慢補充的 \(....\)
字尾自動機 筆記
參考了hihocoder和clj的課件，看了看hzwer的 懂了些東西，記一下。字尾自動機是一棵trie樹。給出乙個字串s，對於s的乙個子串s，right s 代表乙個集合，為s在s中所有出現的結束位置集合。以s aabbabd 為例，right ab 因為 ab 一共出現了2次，結束位置分別是3和...
字尾自動機學習
今天終於把這週的坑填了，同樣看了很多部落格，這裡就不詳細總結了，就簡單整理一下了。應用 1 存在性查詢 給定文字t，詢問格式如下 給定字串p，問p是否是t的子串。直接按著路徑走，看是否存在即可 2 不同的子串個數 對於每乙個節點即為 len i len fa i 加和即可 3 不同子串的總長 這裡我...
字尾自動機 SAM 學習筆記
參考資料 hihocoder1441 hihocoder1445 史上最通俗的字尾自動機詳解 練習題hihocoder1449 hihocoder1457 hihocoder1465 hihocoder1413 筆記 字串 aab 模板struct suffixautomaton int q ch ...