Book LIS的二分查詢優化

所謂lis，即longest inceeasing subsequence，最長上公升子串行，可以用dp思想來做，正常的dp做法：

狀態轉移方程：dp[ i ] = max(dp[ j ]) + 1 (dp[ i ]記錄的是以第 i 個數結尾的最長子序列長度，而 0 <= j < i （假設元素從標記0開始））

如果要記錄路徑，再開乙個index[ ]陣列記錄，並回溯print即可。

顯然，如果資料規模比較大，會超時，（上述時間複雜度o(n^2)），這裡我們考慮用二分查詢來優化。

這種思想來自hdu論壇

思考過程：

假設存在乙個序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出來它的lis長度為5。

下面一步一步試著找出它。

我們定義乙個序列b，然後令 i = 1 to 9 逐個考察這個序列。

此外，我們用乙個變數len來記錄現在最長算到多少了

首先，把d[1]有序地放到b裡，令b[1] = 2，就是說當只有1乙個數字2的時候，長度為1的lis的最小末尾是2。這時len=1

然後，把d[2]有序地放到b裡，令b[1] = 1，就是說長度為1的lis的最小末尾是1，d[1]=2已經沒用了，很容易理解吧。這時len=1

接著，d[3] = 5，d[3]>b[1]，所以令b[1+1]=b[2]=d[3]=5，就是說長度為2的lis的最小末尾是5，很容易理解吧。這時候b[1..2] = 1, 5，len＝2

再來，d[4] = 3，它正好加在1,5之間，放在1的位置顯然不合適，因為1小於3，長度為1的lis最小末尾應該是1，這樣很容易推知，長度為2的lis最小末尾是3，於是可以把5淘汰掉，這時候b[1..2] = 1, 3，len = 2

繼續，d[5] = 6，它在3後面，因為b[2] = 3, 而6在3後面，於是很容易可以推知b[3] = 6, 這時b[1..3] = 1, 3, 6，還是很容易理解吧？ len = 3 了噢。

第6個, d[6] = 4，你看它在3和6之間，於是我們就可以把6替換掉，得到b[3] = 4。b[1..3] = 1, 3, 4， len繼續等於3

第7個, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。於是b[4] = 8。len變成4了

第8個, d[8] = 9，得到b[5] = 9，嗯。len繼續增大，到5了。

最後乙個, d[9] = 7，它在b[3] = 4和b[4] = 8之間，所以我們知道，最新的b[4] =7，b[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，len = 5。

於是我們知道了lis的長度為5。

！！注意！！。這個1,3,4,7,9不是lis，它只是儲存的對應長度lis的最小末尾。有了這個末尾，我們就可以乙個乙個地插入資料。雖然最後乙個d[9] = 7更新進去對於這組資料沒有什麼意義，但是如果後面再出現兩個數字 8 和 9，那麼就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出lis的長度為6。

然後應該發現一件事情了：在b中插入資料是有序的，而且是進行替換而不需要挪動——也就是說，我們可以使用二分查詢，將每乙個數字的插入時間優化到o(logn)~~~~~於是演算法的時間複雜度就降低到了o(nlogn)～

事實上，這裡的思想已經和原先的常規dp有了區別。

例題來自 hdu 1025

#include #include #includeusing namespacestd;intans[500005],num[500005];intmain()
ans[1] =num[1];len=1;for(inti=2;i<=n;i++)

ans[low] =num[i];if(low>len)len++;

}printf("case %d:\n",case++);if(len==1)printf("my king, at most 1 road can be built.\n\n");elseprintf("my king, at most %d roads can be built.\n\n",len);

}return0;

}

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