劍指offer 遞迴與迴圈

寫乙個函式，輸入n，求fibonacci數列的第n 項。

一般我們在求fibonacci數列的時候，可能會使用遞迴，但其實遞迴是乙個效率很低的解法。

public int fibonacci(int n)  

if(n==2) 
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); 
}

改進演算法是使用迴圈，不停地往下計算,這樣計算的時間複雜度為o(n).

public static int fibonacci(int target) 

return result;
}

我一開始的做法使用遞迴，在牛客網中測試時發現超時了。

public class solution1 

public static void jump(int total,int previous,int target) else if((total+previous)後來看了解題思路後，發現是fibonnacci數列的變體。
台階有兩種跳法，一種是一次跳一級，一種是一次跳兩級，而最後一跳既可以是一級，也可以是兩級，假設最後一跳是一級，則此時的跳法數目等於後面剩下的f(n-1)的跳法數目，而假設最後一跳是二級，則此時的跳法數目等於後面剩下的f(n-2)的跳法數目。所以f(n)=f(n-1)+f(n-2).
public static int jumpfloor(int target) 
return result;
}

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2)         //f(2-2) 表示2階一次跳2階的次數。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3) 

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n) 

說明： 

1）這裡的f(n) 代表的是n個台階有一次1,2,...n階的 跳法數。

2）n = 1時，只有1種跳法，f(1) = 1

3) n = 2時，會有兩個跳得方式，一次1階或者2階，這回歸到了問題（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2) 

4) n = 3時，會有三種跳得方式，1階、2階、3階，

那麼就是第一次跳出1階後面剩下：f(3-1);第一次跳出2階，剩下f(3-2)；第一次3階，那麼剩下f(3-3)

因此結論是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n時，會有n中跳的方式，1階、2階...n階，得出結論：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

6) 由以上已經是一種結論，但是為了簡單，我們可以繼續簡化：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

可以得出：

f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最終結論,在n階台階，一次有1、2、...n階的跳的方式時，總得跳法為：

| 1       ,(n=0 ) 

f(n) =     | 1       ,(n=1 )

| 2*f(n-1),(n>=2)

於是可以得出結論的是f(n)=2的n-1次方。

假設，我們現在要用2*1的小矩形無重疊地覆蓋2*8的小矩形，如下圖

當第乙個小矩形豎著放時，剩下2*7個矩形，這裡的擺法就是2*7個小矩形的擺法，而當第乙個小矩形橫著放時，第二行的同一列則只能橫著再放乙個小矩形，而剩下了2*6個矩形，這裡的擺法就是2*6個小矩形的擺法。所以可以得出結論的是f(8)=f(7)+f(6).所以這裡也是fibonacci數列的變體。

public class solution 

return result;}}

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