移動金幣 SDOI2019

乙個 \(1\times n\) 的棋盤上最初擺放有 \(m\) 枚金幣。其中每一枚金幣佔據了乙個獨立的格仔，任意乙個格仔內最多只有一枚金幣。

alice 和 bob 將要進行如下的一場遊戲。二人輪流操作，且 alice 先行。當輪到乙個玩家的時候，他可以選擇一枚金幣，並將其向左移動任意多格，且至少移動一格。金幣不能被移出棋盤，也不能越過其它金幣。

如果輪到乙個玩家的時候他已經無法做出任何有效操作了（顯然這個時候 \(m\) 枚金幣恰好落在最左側的 \(m\) 個格仔中），則被判定為輸家。已經知道 alice 和 bob 都是極致聰明的人，他們在任何局面下總能做出最優的操作。那麼有多少初始狀態能保證 alice 必勝呢？

輸入僅有一行幷包含兩個正整數，依次為 \(n\) 和 \(m\) ，如題目所述。

輸出乙個整數，表示有多少初始狀態可以保證 alice 作為先手方能先手必勝。由於答案可能很大，請輸出關於 \(10^9+9\) 取模後的值。

首先不難發現，把金幣向左移改成向右移是沒有區別的

然後把題目看作是\(m\)枚金幣把\(n-m\)個空位分成了\(m+1\)個部分(編號從\(0\sim m\))，那麼每次把第\(i\)枚硬幣向右移動就相當於是把若干個空位從第\(i\)部分移動到了第\(i-1\)部分

然後這顯然是乙個階梯\(nim\)模型，即每次可以選擇乙個\(i\neq 0\)，將若干個物品從第\(i\)堆移到第\(i-1\)堆

我們其實不用管\(m\)枚金幣具體在哪些位置，所以我們現在需要解決的問題是：將\(n-m\)個物品分成編號從\(0\sim m\)的\(m+1\)堆，要求所有奇數堆的異或和不為\(0\)，有多少種方案？

容斥一下，可以用總方案數減去奇數堆異或和為\(0\)的方案數

設\(dp[i][j]\)表示所有奇數堆的二進位制前\(i\)位的異或和為0，共用了\(j\)個物品的方案數

在二進位制的每一位上，為了異或和為\(0\)，必須要放偶數個\(1\)

假設\(m+1\)堆中有\(a\)個奇數堆，\(b\)個偶數堆，

那麼轉移方程為：\(dp[i][j]=\sum\limits_ dp[i-1][j-k*2^] * c(a, k)\)

表示在第\(i\)位上放\(k\)個1，所以在\(a\)個奇數字上任選\(k\)個放上1

然後填好所有奇數堆後，剩下的沒有用到的物品就可以用插板法隨意地分到偶數堆裡

時間複雜度\(o(nm\log n)\)，但是實際上跑得很快

#include using namespace std;
typedef long long ll;
templateinline void read(t &num) 
const ll mod = 1000000009;
ll fac[150005], invf[150005], dp[21][150005], ans; // 放了二進位制前i位 用了j個物品 
int n, m, l; 
inline ll fpow(ll x, ll t) 
inline ll c(ll _n, ll _m) 
void init() 
invf[150000] = fpow(fac[150000], mod-2);
for (int i = 149999; i; i--) 
}int main() 
int a = (m + 1) / 2, b = (m + 2) / 2; 
dp[0][0] = 1;
for (int i = 0; i < l; i++) 
} }for (int i = 0; i <= n; i++) 
ans = (c(n+m, m) - ans + mod) % mod;
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}

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