C 挖坑卡特蘭數列（mod998244353

description

quasrain 和 fz 是好朋友。quasrain 善於挖坑而 fz 善於填坑。

這個遊戲一共會持續 2n 天。在每一天都會有人挖坑或者填坑，並在本子上記錄下「a」表示這天挖了坑，「b」表示填了坑。填坑必須填乙個現存的還沒有被填過的坑。

作為素質優秀的熊孩子，他們保證在最後一天結束的時候一定會恰好填平所有坑。

問本子上可能有多少種不同的 ab 序列

input

第一行乙個數 t 表示資料組數（t<=100000）

之後 t 行每行乙個數 n，意義如題面所示（1<=n<=1000）

output

對於每組資料輸出方案數，對 998244353 取模

sample input31

23sample output12

5hint

對於第三組樣例：

可能的 ab 序列分別為：,,,,

題目意思就是求在後面的填坑數要大於前面的挖坑次序可能情況，我們可以把填坑看成入棧操作，挖坑看成出棧操作，即填坑的累計個數不小於挖坑的排列有多少種，標準的卡特蘭數列；

什麼是卡特蘭數列：

特蘭數是乙個常用在計數情況中使用的一種特殊的數列，其分析如下：

分析：假設我們要求的出棧數為n，要得到的出棧序列為f(n)，我們知道，因為入棧的順序是確定的，假設入棧順序記為1、2、3、4、5...n，那麼假設最後出棧的那個數為第k個數，那麼我們要求f(k)時，k-1個數已經先完成進棧出棧，此時有f(k-1)種方式，然後k之後的n-k個數也完成進棧和出棧，也就是f(n-k)種方式，最後第k個數出棧，此時的f(k)=f(k-1)*f(n-k),而每個數都可能是最後出棧,可以得到通式：

其遞推公式的通解(f(0)=1):

1:f(n)=c(2n,n)/n+1

2:f(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)))

3:f(n)=f(n-1)(4n-2)/(i+1);

坑點：由於我只知道第乙個和第三個式子，存在除法取餘，比賽的時候不會寫逆元

另外記錄一些取模公式：

a + b) % mod = (a % mod + b % mod) % mod (1)

(a - b) % mod= (a % mod - b % mod) % mod (2)

(a * b) % mod = (a % mod * b % mod) % mod（3）

a ^ b % mod = ((a % mod)^b) % mod （4）

((a*b) % mod * c)% mod = (a * (b*c) % mod) % mod （6）

(a * b) % mod = (b * a) % mod （8）

((a +b)% mod * c) % mod = ((a * c) % mod + (b * c) % mod) % mod （9）

（這裡b^(mod-2)就是b的逆元）

#includeusing namespace std;
const int n=1e3;
const int mod=998244353;
typedef long long ll;
ll qpow(ll m,ll q)
return ans;
}ll inv[n+5];
ll getinv(ll n)
int main()
ll t,n;
cin>>t;
while(t--)
{cin>>n;
cout
#include#include#include#include#define ll long long int

#define n 1005

#define mod 998244353

using namespace std;

ll dp[n][n];

int main()

{// freopen("e:c++.txt","w",stdout);

memset(dp,0,sizeof(dp));

for(int i=0; i<=1000; i++)

dp[i][0]=1;//當挖坑的數量為零時,數量為1

for(int i=1; i<=1000; i++)

for(int j=1; j<=i; j++)

dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i-1][j])%mod;//dp[i][j]的方案數為填掉上乙個的數量dp[i-1][j]和挖乙個填乙個的數量dp[i][j-1];

int t,n;

cin>>t;

while(t--)

{cin>>n;

cout卡特蘭數詳細證明過程請參考：

C 挖坑卡特蘭數列（mod998244353

卡特蘭數列

卡特蘭數列（Catalan）

卡特蘭數列 Catalan

C 挖坑 卡特蘭數列（mod998244353

卡特蘭數列

卡特蘭數列（Catalan）

卡特蘭數列 Catalan

相關推薦

C 挖坑卡特蘭數列（mod998244353