網路流24題最長不下降子串行問題

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題意：

給定正整數序列$x_1,...,x_n$

（1）計算其最長不下降子串行的長度s。

（2）計算從給定的序列中最多可取出多少個長度為s的不下降子串行。

（3）如果允許在取出的序列中多次使用$x_1$和$x_n$，則從給定序列中最多可取出多少個長度為$s$的不下降子串行。

思路分析

題意首先就很坑：注意第二問中的取出二字，意味著乙個數字最多只能存在於乙個lis中。所以才會有第三問的假設

第一問

第一問很簡單，直接暴力$o(n^2)$就好了

後面的兩問需要借助於網路流。

第二問

直接解釋原理不清晰也不易懂，先

詳細闡述如何建模過程：

首先原序列做lis，其中$f[i]$表示以$a[i]$為結尾的lis的最大長度。對序列的每乙個數進行拆點，也就是分為$$。我們要讓s到t的每一條路徑都是乙個lis，因此若$f[i]=1$，則$x_i$的點連線源點（容量為1，後同），$f[i]=maxs$則$y_i$連線匯點。其中對於每乙個數字，連線有向邊$(x_i, y_i)$。並且在做lis的過程中，若發現一對數字滿足$a[j]<=a[i] 且 f[j]+1=f[i]$，則連有向邊$(y_j, x_i)$。最後做最大流即可

我們發現這道題又和二分圖有一點類似。經過剛才這樣的連邊之後，任一s到t的路徑都是乙個lis，並且容量為1保證了每個點不會被用兩次（與二分圖原理相同），因此最大流即為方案數

至於與二分圖不同的地方我們發現，我們每個點本身連了邊，最後lis的邊還是反過來加的。為什麼要這麼做呢？這是這道題最大的難點。

首先分析這種方法的正確性：經過現在這樣的建圖，y部分稱為了邊的起點，而x成為了終點。設有一條邊是$(y_a, x_b)$，則其到達$x_b$以後會順著自己的邊到達$y_b$，而後如果還存在一條邊$(y_b, x_c)$，它就會繼續來到$y_c$，以此類推最終到達t。其中$(x_i, y_i)$起到了過渡作用，並且保證了每個點只走一次

然後來講這種方法的必要性：為什麼正著連邊不行呢？原因在於我們源點與匯點的選擇。想象乙個序列$5,4,3,2,1$，按照目前這種方法自然會跑出最大流為5（每個點直接沿著自己的邊走了）。然而如果正著連邊自己反著連，那麼將會跑出0——我們並沒有給它乙個跑出去的機會

第三問

第三問其實就是在第二問的基礎上稍作了一些改動。$x_1和x_n$可以用無限次意味著可以去掉之前給這兩個點只能用一次的束縛，因此只需要把源點到1，n到匯點的邊的容量改為inf即可。注意由於現在起點是右側點了，所以$(x_1,y_1)$和$(x_n,y_n)$的容量務必也要改成inf

code

細節題。dinic不要打錯了不然完蛋

另外，再dfs的時候由於我們最初給s設的可增廣量為inf，而容量也是inf，這就不太對了，因為源點還有可能連更多的邊，inf就不夠了。因此第三問的時候容量改為inf/10保險一點

/*
by dennyqi
*/#include 
#include 
#include 
#include 
#define r read()
#define max(a,b) (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define min(a,b) (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;const
int maxn = 10010
;const
int maxm = 10010
;const
int inf = 1061109567
;inline 
intread()
intk,n,m,s,t,x,p,maxs;
int first[maxm*2],nxt[maxm*2],to[maxm*2],cap[maxm*2],flow[maxm*2],num_edge=-1
;int
level[maxn],cur[maxn];
queue 
q;inta[maxn],f[maxn];
inline 
void add(int u, int v, int c, int
f)inline 
bool
bfs()}}
return level[t] != 0;}
int dfs(int u, int
a) }
return
ans;
}inline 
void
dinic()
printf(
"%d\n
", ans);
}int
main()
maxs = 0
; 
for(int i = 1; i <= n; ++i)
}++f[i];
maxs =max(maxs, f[i]);
for(int j = 1; j < i; ++j)}}
printf(
"%d\n
", maxs);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(f[i] ==maxs)
}dinic();
memset(flow, 
0, sizeof
(flow));
memset(first, -1, sizeof
(first));
memset(nxt, 
0, sizeof
(nxt));
memset(f, 
0, sizeof
(f));
s = 1, t = 2*n+2; num_edge = -1
; 
for(int i = 1; i <= n; ++i)
add(i
<<1, i<<1|1, 1, 0
); add(i
<<1|1, i<<1, 0, 0
); }
maxs = 0
; 
for(int i = 1; i <= n; ++i)
}++f[i];
maxs =max(maxs, f[i]);
for(int j = 1; j < i; ++j)}}
for(int i = 1; i <= n; ++i)
else
}if(f[i] ==maxs)
else
; }
}dinic();
return0;
}

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