這裡總結一下幾種最大流演算法
ek演算法應該是最大流中最簡單的了，但剛開始理解也花了不少工夫
ek演算法基於增廣路。它的思想是，每一次通過bfs不停尋找增廣路，找到以後增廣，直到找不到為止
殘量
一條邊的殘量等於該邊的容量減去該邊當前的流量，為了方便，我們可以建立殘量網路。這樣每條邊只需要對應乙個權值即可。
反向邊
給程式乙個反悔的機會。因為乙個點出發邊的搜尋順序完全取決於讀入的順序，所以難免會運氣不好走出一條路使下一次無法增廣，而實際上如果不那麼走是有增廣路的。因此引入反向邊的概念，當第一次運氣不好走過一條邊時，下一次可以反的走回來，這樣一條邊走去走來就抵消了，相當於沒走，也就是反悔了
問題的統一
從u到v流去3，再從v到u流回5，實際上等價於v到u流回-2。因此，流量$f(u,v) = k$等價於$f(v,u) = -k$
具體的演算法流程及內容相關：
1.建圖
對於每一條邊，建立它本身與反向邊。
它本身的容量就設為c，流量初始化為0。 反向邊的容量設為0，流量也為0
每條邊在殘量網路中對應正反兩條邊，當容量為c，當前流量為f時，正向邊殘量為$c-f$，反向邊殘量為$0-(-f)=f$，容易看出正反向邊始終滿足殘量之和等於容量
假設當前一條邊經過增廣使流量增加了$δf$，則正向邊殘量為$c-(f+δf)$，反向邊殘量應當為$f+δf = 0-(-f-δf)$才能滿足容量的守恆。由此可知，當流量增加$δf$時，反向邊的流量應當減去$δf$
2.增廣
利用bfs進行增廣
基於已經構建好的殘量網路（也就是容量-流量），bfs出任意一條路勁，使其能夠增廣。這裡的增廣就好像乙個瓶頸，能增廣多少取決於殘量最小的那條邊。
因此我們可以記錄乙個陣列a，a[i]表示從i到源點經過的殘量的最小值。如果$a[t]>0$，則意味著存在一條增廣路
我們不停進行bfs，直到$a[t]==0$。注意a[s]應當為inf，用來打擂最小值
3.累積
注意我們不能再bfs增廣的過程中對邊的流量進行修改，因為bfs幾乎會經過所有的邊，而只有一條路徑作為增廣路。所以我們需要像最短路輸出方案那樣記錄更新的pre陣列，最後由匯點t往前一一處理經過的邊（正向加反向減）即可。這裡還有乙個小技巧：我們可以讓num_edge從0開始累積，由於正反向的兩條邊是連續add的，所以邊的編號剛好是x與x^1. 這樣訪問起來也非常方便
注意，這不是單純地輸出路徑，而是需要對路徑上的邊權做出修改。無疑不能僅僅存點的編號為pre，而是邊的編號，並且還需要在邊的屬性中加入from這一項
ek演算法複雜度最壞為$o(nm^2)$
inline voidmaxflow_ek()
}if(a[t] > 0) break; //
意味著已經找到增廣路，可以停止bfs
}
if(!a[t]) break;//
無法找到增廣路了，跳出大的迴圈
for(int i = t; i != s; i = from
[pre[i]])
ans += a[t];//
每一次增廣累積答案
} printf("%d
", ans);
}
在討論dinic演算法之前，先來看最短增廣路演算法。dinic基於該演算法，事實上dinic是連續最短增廣路演算法
最短增廣路演算法的步驟如下：
1. 構建層次圖為什麼這樣會優呢？因為每一次構建層次圖，都是讓源點到匯點的增廣路同時為最短路。每一次重構層次圖意味著增廣路的最短路至少增加了1. 因此重構不會超過$n-1$次先對原圖從源點開始bfs，處理出每個點到s的距離（這裡每條邊的權值當做1，也就可以理解為每個點到s最少經過幾條邊）。這個距離記為這個點的層次。
2. bfs求解最大流
將同層次的點歸於一組，並規定每一次只能走層次較大的（最多只能大1，想一想，為什麼）。每一次bfs的過程中找到增廣路，並進行增廣
3. 重新構建層次圖
當找不到增廣路後，去除所有飽和的邊，重新構建層次圖，重新bfs找增廣路
再回過頭來看dinic，dinic演算法的優化就在於不要用bfs每次求解一條增廣路，這樣非常慢。dinic演算法的思想是多路增廣，即利用dfs一次性求解多條增廣路
下面來介紹dinic演算法的步驟
1. 構建層次圖以上是樸素的dinic演算法，我們可以嘗試對他進行優化與最短增廣路演算法一樣
2. dfs多路增廣
每一次在dfs的時候就可以順帶減去當前邊的流量，因為是深度優先，所以在回溯的時候已經知道了流量的消耗。具體原理還是和ek一樣的
3. 重新構圖進行多路增廣
也和最短增廣路演算法一樣
優化（一）：當前弧優化
所謂當前弧優化就是指在同一次dfs中，記錄每個點已經訪問過的邊，下次從沒有訪問的邊開始訪問
這有點像記憶化搜尋，由於是深度優先搜尋，所以如果一條邊已經搜尋過了，那麼從它出發的經過它的所有增廣路肯定都已經增廣了（不然不會回溯到現在），所以這條邊再dfs下去毫無價值，因此可以忽略。所以反應到程式裡就是每乙個點搜過的邊都不要再搜，也就是當前弧優化
有乙個地方是不是矛盾了？既然是深度優先搜尋，那麼乙個點搜過了所有邊肯定也會被遍歷過，為什麼還需要當前弧優化呢？因為我們有乙個重要的跳出語句（也就是下一條優化）：我們是有剩餘流量的，引數a表示這個點出發總共還有多少從前面運輸過來的流量，如果增廣前三條邊導致剩餘流量用光，那麼只能被迫跳出。因此當前弧優化就在這裡起到了作用
優化（二）：剩餘流量為0時及時跳出
既然沒有剩餘流量了，跳出即可（如上）
dinic演算法複雜度最壞$o(n^2m)$
inline boolbfs()}}
return vis[t];//
能訪問t意味著存在至少一條增廣路
}int dfs(int u, int
a) }
return
ans;
}inline
void
dinic()
printf("%d
", ans);
}
最大流學習筆記（2）
1 基本的ford fulkerson方法。該方法的思想就是每次找到乙個增廣路 p 然後將增廣路 p 對應的流加到之前的流上得到新的流，一直這樣直到找不到增廣路，這時候找到的流就是最大流。演算法的偽 如下 假設容量是整數，最大流為 f 那麼while迴圈最多執行 f 次，因為每次至少使得流量增加1，...
最大流學習筆記（1）
1流網路。流網路g v,e 是乙個有向圖，每條邊 u,v in e 有乙個非負容量值 c u,v geq 0 如果 u,v notin e,c u,v 0 另外有乙個源節點s和匯點t。2流。g中的流是乙個實值函式 f v times v rightarrow r 滿足 1 容量限制 對所有的 u,v...
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