「魔塔」是一款經典的地牢類遊戲，碰怪物要掉血，吃血瓶能加血，你要收集鑰匙，一層一層上樓，最後救出美麗的公主。
現在手機上仍然可以玩這個遊戲：
嗯，相信這款遊戲承包了不少人的童年回憶，記得小時候，乙個人拿著遊戲機玩，兩三個人圍在左右指手畫腳，這導致玩遊戲的人體驗極差，而左右的人異常快樂
力扣第 174 題是一道類似的題目，我簡單描述一下：
輸入乙個儲存著整數的二維陣列grid，如果grid[i][j] > 0，說明這個格仔裝著血瓶，經過它可以增加對應的生命值；如果grid[i][j] == 0，則這是乙個空格子，經過它不會發生任何事情；如果grid[i][j] < 0，說明這個格仔有怪物，經過它會損失對應的生命值。
現在你是一名騎士，將會出現在最上角，公主被困在最右下角，你只能向右和向下移動，請問騎士的初始生命值至少為多少，才能成功救出公主？
換句話說，就是問你至少需要多少初始生命值，能夠讓騎士從最左上角移動到最右下角，且任何時候生命值都要大於 0。
函式簽名如下：
演算法應該返回 7，也就是說騎士的初始生命值至少為 7 時才能成功救出公主，行進路線如圖中的箭頭所示。
上篇文章 最小路徑和 寫過類似的問題，問你從左上角到右下角的最小路徑和是多少。
我們做演算法題一定要嘗試舉一反三，感覺今天這道題和最小路徑和有點關係對吧？
想要最小化騎士的初始生命值，是不是意味著要最大化騎士行進路線上的血瓶？是不是相當於求「最大路徑和」？是不是可以直接套用計算「最小路徑和」的思路？
但是稍加思考，發現這個推論並不成立，吃到最多的血瓶，並不一定就能獲得最小的初始生命值。
比如如下這種情況，如果想要吃到最多的血瓶獲得「最大路徑和」，應該按照下圖箭頭所示的路徑，初始生命值需要 11：
但也很容易看到，正確的答案應該是下圖箭頭所示的路徑，初始生命值只需要 1：
所以，關鍵不在於吃最多的血瓶，而是在於如何損失最少的生命值。
這類求最值的問題，肯定要借助動態規劃技巧，要合理設計dp陣列/函式的定義。模擬前文 最小路徑和問題，dp函式簽名肯定長這樣：
int dp(int grid, int i, int j);
從左上角（grid[0][0]）走到grid[i][j]至少需要dp(grid, i, j)的生命值。
這樣定義的話，base case 就是i, j都等於 0 的時候，我們可以這樣寫**：
int calculateminimumhp(int grid)
int dp(int grid, int i, int j)
...}
我們希望dp(i, j)能夠通過dp(i-1, j)和dp(i, j-1)推導出來，這樣就能不斷逼近 base case，也就能夠正確進行狀態轉移。
具體來說，「到達a的最小生命值」應該能夠由「到達b的最小生命值」和「到達c的最小生命值」推導出來：
但問題是，能推出來麼？實際上是不能的。
因為按照dp函式的定義，你只知道「能夠從左上角到達b的最小生命值」，但並不知道「到達b時的生命值」。
你說這種情況下，騎士救公主的最優路線是什麼？
顯然是按照圖中藍色的線走到b，最後走到a對吧，這樣初始血量只需要 1 就可以；如果走黃色箭頭這條路，先走到c然後走到a，初始血量至少需要 6。
為什麼會這樣呢？騎士走到b和c的最少初始血量都是 1，為什麼最後是從b走到a，而不是從c走到a呢？
因為騎士走到b的時候生命值為 11，而走到c的時候生命值依然是 1。
如果騎士執意要通過c走到a，那麼初始血量必須加到 6 點才行；而如果通過b走到a，初始血量為 1 就夠了，因為路上吃到血瓶了，生命值足夠抗a上面怪物的傷害。
這下應該說的很清楚了，再回顧我們對dp函式的定義，上圖的情況，演算法只知道dp(1, 2) = dp(2, 1) = 1，都是一樣的，怎麼做出正確的決策，計算出dp(2, 2)呢？
所以說，我們之前對dp陣列的定義是錯誤的，資訊量不足，演算法無法做出正確的狀態轉移。
正確的做法需要反向思考，依然是如下的dp函式：
int dp(int grid, int i, int j);
從grid[i][j]到達終點（右下角）所需的最少生命值是dp(grid, i, j)。
那麼可以這樣寫**：
int calculateminimumhp(int grid)
int dp(int grid, int i, int j)
...}
具體來說，「從a到達右下角的最少生命值」應該由「從b到達右下角的最少生命值」和「從c到達右下角的最少生命值」推導出來：
能不能推導出來呢？這次是可以的，假設dp(0, 1) = 5, dp(1, 0) = 4，那麼可以肯定要從a走向c，因為 4 小於 5 嘛。
那麼怎麼推出dp(0, 0)是多少呢？
假設a的值為 1，既然知道下一步要往c走，且dp(1, 0) = 4意味著走到grid[1][0]的時候至少要有 4 點生命值，那麼就可以確定騎士出現在a點時需要 4 - 1 = 3 點初始生命值，對吧。
那如果a的值為 10，落地就能撿到乙個大血瓶，超出了後續需求，4 - 10 = -6 意味著騎士的初始生命值為負數，這顯然不可以，騎士的生命值小於 1 就掛了，所以這種情況下騎士的初始生命值應該是 1。
綜上，狀態轉移方程已經推出來了：
int res = min(
dp(i + 1, j),
dp(i, j + 1)
) - grid[i][j];
dp(i, j) = res <= 0 ? 1 : res;
/* 主函式 */
int calculateminimumhp(int grid)
return dp(grid, 0, 0);
}// 備忘錄，消除重疊子問題
int memo;
/* 定義：從 (i, j) 到達右下角，需要的初始血量至少是多少 */
int dp(int grid, int i, int j)
if (i == m || j == n)
// 避免重複計算
if (memo[i][j] != -1)
// 狀態轉移邏輯
int res = math.min(
dp(grid, i, j + 1),
dp(grid, i + 1, j)
) - grid[i][j];
// 騎士的生命值至少為 1
memo[i][j] = res <= 0 ? 1 : res;
return memo[i][j];
}
這道題的核心是定義dp函式，找到正確的狀態轉移方程，從而計算出正確的答案。
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