多項式求逆
前置知識：ntt
給定乙個多項式 \(f\left(x\right)\)，求乙個多項式 \(g\left(x\right)\)，使得 \(f\left(x\right)g\left(x\right)\equiv 1\left(\bmod 998244353\right)\)。
考慮遞迴求解。
假定現在已經求出了 \(g_0\left(x\right)\)，滿足
\[f\left(x\right)g_0\left(x\right)\equiv 1\left(\bmod x^\rceil}\right)\tag 1
\]根據要求的 \(g\left(x\right)\) 的定義，顯然有
\[f\left(x\right)g\left(x\right) \equiv 1\left(\bmod x^\rceil}\right)\tag 2
\]\((2) - (1)\)，得
\[f\left(x\right)\left(g\left(x\right) - g_0\left(x\right)\right) \equiv 0 \left(\bmod x^\rceil}\right)
\]因為 \(f\left(x\right) \not\equiv 0\left(\bmod x^\rceil}\right)\)，所以有
\[g\left(x\right) - g_0\left(x\right) \equiv 0 \left(\bmod x^\rceil}\right)
\]兩邊平方，得
\[g^2\left(x\right) - 2g\left(x\right)g_0\left(x\right) + g_0^2\left(x\right) \equiv 0\left(\bmod x^n\right)
\]兩邊同乘 \(f\left(x\right)\)，得
\[g\left(x\right) - 2g_0\left(x\right) + f\left(x\right)g_0^2\left(x\right) \equiv 0\left(\bmod x^n\right)
\]移項整理
\[g\left(x\right) \equiv 2g_0\left(x\right) - f\left(x\right)g_0^2\left(x\right) \left(\bmod x^n\right)
\]遞迴處理之後自下而上遞推即可。
**：
int rev[maxn];
void setrev(int len)
}void ntt(ll p, int len, int type)
} }if(type == 1)
}ll tmp[maxn];
void polyinv(ll a, ll b, int siz)
polyinv(a, b, (siz + 1) >> 1);
int len = 1, l = (siz << 1); while(l) l >>= 1, len <<= 1;
for(int i = 0; i < siz; ++i) tmp[i] = a[i];
for(int i = siz; i < len; ++i) tmp[i] = 0;
setrev(len); ntt(tmp, len, 0); ntt(b, len, 0);
for(int i = 0; i < len; ++i) b[i] = ((2ll * b[i] % mod - b[i] * b[i] % mod * tmp[i] % mod) % mod + mod) % mod;
ntt(b, len, 1);
for(int i = siz; i < len; ++i) b[i] = 0;
}
#include #define ll long long
using namespace std;
template inline void read(temp & res)
const int maxn = 262200;
const ll mod = 998244353, g[2] = ;
ll qpow(ll a, ll p)
return res;
} namespace polynomial
} void ntt(ll p, int len, int type)
}} if(type == 1) }
void polymul(ll a, ll b, int siz)
ll tmp[maxn];
void polyinv(ll a, ll b, int siz)
polyinv(a, b, (siz + 1) >> 1);
int len = 1, l = (siz << 1); while(l) l >>= 1, len <<= 1;
for(int i = 0; i < siz; ++i) tmp[i] = a[i];
for(int i = siz; i < len; ++i) tmp[i] = 0;
setrev(len); ntt(tmp, len, 0); ntt(b, len, 0);
for(int i = 0; i < len; ++i) b[i] = ((2ll * b[i] % mod - b[i] * b[i] % mod * tmp[i] % mod) % mod + mod) % mod;
ntt(b, len, 1);
for(int i = siz; i < len; ++i) b[i] = 0; }}
int n, m;
ll a[maxn], b[maxn];
int main()
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