資料結構與演算法複習 4 二叉堆

4、二叉堆——前置知識複習1

一、堆簡介

堆是一種資料結構，要求有效地完成兩種基本操作：insert（插入元素）和pop（刪除最值），其中最值可能是最大值、最小值或者其它複雜的最值。在這兩種基本操作中，必然包括top（尋找最值），但基本的堆不要求其他複雜的操作，比如合併，或者尋找任意元素。如果能夠高效地尋找任意元素，則還可能做這些操作：decrese（減小某點權值）、increase（增加某點權值）、delete（刪除某點）。

堆的這些操作對作業系統有重要意義：作業系統一般在排程時為每個任務都會分配乙個優先順序，當任務衝突時，優先順序最高的將會被優先執行。可見insert即新增新任務，pop即任務完成，decrease、increase即對某個任務的優先順序調整（比如降低某些占用太多資源的任務），delete即中止某項任務。當然，對於作業系統來講，建立堆也是必不可少的。

堆的實現有很多種，我們今天來複習最基本（但是也非常高效）的二叉堆。

二、二叉堆

二叉堆是一棵樹，它的遞迴定義如下：

1、二叉堆是一棵完全二叉樹；

2、二叉堆根節點的值與它左、右子節點的值分別都滿足同乙個序（例如都小於、都大於）（沒有子節點時預設滿足）；

3、二叉堆的左右兩棵子樹也都是二叉堆。

（如果不清楚完全二叉樹是什麼：作為二叉樹，除了最後一層有可能例外，其餘層都是滿的）

完全二叉樹有乙個很好的性質：如果經過恰當的編號（根節點是1，之後向下每層從左向右編號），那麼，節點$n$的父結點就是$n/2$（向下取整），左子結點就是$2n$，右子節點則是$2n+1$。這表明，我們不需要一棵真正的樹，而只需要用陣列來模擬就好；只要我們事先能控制好堆的最大規模。

二叉堆因此具有兩個主體性質：結構性（是完全二叉樹）、堆序性（最值在最上面）。我們下面用小根堆舉例，介紹二叉堆怎麼做基本操作：

insert：空堆是平凡的。如果不是空堆，則新入的節點應該放在某個位置。為了維持堆的結構性，我們首先把它放在最後一層的末尾（即陣列的末尾），然後通過交換元素來維持堆序。具體的方法稱為向上過濾（上濾）：對於這個新結點$x$，如果它的值比它的父節點還小，則交換它與它的父親。很顯然這種交換是合適的，因為它的（可能的）兄弟必然大於等於它的父親，也就大於它。不斷進行，直到不需要交換為止。從二叉堆的結構我們知道，這個操作最壞是$o(\log n)$的。但是有文章指出這個操作的平均複雜度實際上能夠達到$o(1)$，但我目前無力證明。

這一操作可以簡化，由於交換是乙個比較浪費的操作，我們用空位置來代替：首先在末尾擴充套件乙個空位置，檢查這個空位置能不能放置新的節點$x$，如果能，則放入；如果不能，則將父節點移到這個空位置裡，空位置則轉移到了父節點的原本位置，重複直到新結點進入了空位置為止。insert的某種實現如下：

1
void insert(int
v) else
else15}
16 val[empt] =v;17}
18return
;19 }

insert

pop：空堆仍然是平凡的，否則這樣做：將堆頂刪除，然後把最後乙個元素放到堆頂，之後向下過濾（下濾）：首先比較該節點與左右子節點的值，如果都是滿足堆序的，就停止下濾；否則，將它與左右子節點中較小的交換，然後重複下濾直到停止或到葉子節點為止。

與上濾一樣，下濾也可以簡化，只要把應該被下濾的節點變成空位置，觀察這個節點能不能放到空位置，若不能，將空位置的左右子節點的較小者放至空位置，空位置下移即可。pop操作（包括下濾操作）的某種實現如下：

1
void downadjust(int
node) else
else28}
29 } while (1
);30
return;31
}3233void
pop()

popbuildheap：從$n$個元素的陣列開始建立乙個堆，

最簡單的想法就是進行$n$次插入。它的最壞可能當然是$o(n \log n)$，不過鑑於有文章提到insert的平均複雜度是$o(1)$，也可以期待對隨機數組這樣建堆達到$o(n)$。不過，建堆明顯有乙個更好的方法：

將陣列直接建為完全二叉樹（實際上不需要操作），然後從第乙個有子節點的元素開始（明顯是編號最大的葉子節點的父節點，也就是$n/2$），每個節點都下濾，就完成建堆。

看上去這個操作也會是$o(n \log n)$的，但是我們有如下定理告訴我們它實際上是$o(n)$：

定理：一棵有$2^ - 1$個節點的滿二叉樹，每個節點的高度和是$s = 2^ - 1 - (h + 1)$。

證明：高度是這樣定義的：葉子節點的高度是$0$；每個節點的高度是它的子節點的高度$+1$。這樣可以知道，定理描述的二叉樹中，根節點的高度是$h$，第二層的兩個節點的高度是$h-1$，以此類推。這樣，我們應該有如下和式：

$s = \sum_^ 2^i (h-i)$

為了求這個和，兩邊同乘$2$

$2s = \sum_^ 2^i (h-i+1)$

上下相減就有了

$s = -h + \sum_^ 2^i + 2^h$

$=2^-2-h$

$=2^-1 - (h+1)$

由於剛剛的下濾建堆操作將不會進行超過$o(s)$次比較和賦值，而二叉堆是乙個完全二叉樹，如果$n=2^h+m$，顯然有$2^h-1-h \leq s \leq 2^-1-(h+1)$，因此定理告訴我們，這種建堆的操作是$o(n)$的，可見十分優越。它的某種實現如下：

1
void buildheap(int a, int
size) 
12return
;13 }

buildheap

這就是最簡單的堆——二叉堆的簡單介紹。

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