資料結構2 演算法時間複雜度和空間複雜度的計算

演算法，即解決問題的方法。同乙個問題，使用不同的演算法，雖然得到的結果相同，但是耗費的時間和資源是不同的。

就比如要擰乙個螺母，使用扳手還是鉗子是有區別的，雖然使用鉗子也能擰螺母，但是沒有扳手好用。

「條條大路通羅馬」，解決問題的演算法有多種，這就需要判斷哪個演算法「更好」。

很多人誤以為程式就是演算法，其實不然：演算法是解決某個問題的想法、思路；而程式是在心中有演算法的前提下編寫出來的可以執行的**。

例如，要解決依次輸出一維陣列中的資料元素的值的問題，首先想到的是使用迴圈結構（ for 或者 while ），在有這個演算法的基礎上，開始編寫程式。

所以，演算法相當於是程式的雛形。當解決問題時，首先心中要有解決問題的演算法，圍繞演算法編寫出程式**。

對於乙個問題，想出解決的演算法，不一定就能解決這個問題。

例如擰螺母，扳手相對於鉗子來說更好使（選擇演算法的過程），但是在擰的過程（編寫程式的過程）中發現螺母生鏽擰不動，這時就需要另想辦法。

為了避免這種情況的發生，要充分全面地思考問題，盡可能地考慮到所有地可能情況，慎重選擇演算法（需要在實踐中不斷地積累經驗）。

對於乙個問題的演算法來說，之所以稱之為演算法，首先它必須能夠解決這個問題（稱為準確性）。其次，通過這個演算法編寫的程式要求在任何情況下不能崩潰（稱為健壯性）。

如果準確性和健壯性都滿足，接下來，就要考慮最重要的一點：通過演算法編寫的程式，執行的效率怎麼樣。

執行效率體現在兩方面：

好演算法的標準就是：在符合演算法本身的要求的基礎上，使用演算法編寫的程式執行的時間短，執行過程中占用的記憶體空間少，就可以稱這個演算法是「好演算法」。

計算乙個演算法的時間複雜度，不可能把所有的演算法都編寫出實際的程式出來讓計算機跑，這樣會做很多無用功，效率太低。實際採用的方法是估算演算法的時間複雜度。

在學習c語言的時候講過，程式由三種結構構成：順序結構、分支結構和迴圈結構。順序結構和分支結構中的每段**只執行一次；迴圈結構中的**的執行時間要看迴圈的次數。

由於是估算演算法的時間複雜度，相比而言，迴圈結構對演算法的執行時間影響更大。所以，演算法的時間複雜度，主要看演算法中使用到的迴圈結構中**迴圈的次數（稱為「頻度」）。次數越少，演算法的時間複雜度越低。

例如：a) ++x; s=0;

b) for (int i=1; i<=n; i++)

c) for (int i=1; i<=n; i++) }

上邊這個例子中，a **的執行了 1 次，b **的執行了 n 次，c **執行了 n*n 次。

演算法的時間複雜度的表示方式為：

o(頻度)

這種表示方式稱為大「o」記法。

注意，是大寫的字母o，不是數字0。

對於上邊的例子而言，a 的時間複雜度為o(1)，b 的時間複雜度為o(n)，c 的時間複雜度為為o(n2)。

如果a、b、c組成一段程式，那麼演算法的時間複雜度為o(n2+n+1)。但這麼表示是不對的，還需要對n2+n+1進行簡化。

簡化的過程總結為3步：

所以，最終a、b和c合併而成的**的時間複雜度為o(n2)。

列舉了幾種常見的演算法時間複雜度的比較（又小到大）：

o(1)常數階<o(logn)對數階<o(n)線性階<o(n2)平方階<o(n3)(立方階)<o(2n) (指數階)

演算法的時間複雜度和空間複雜度是可以相互轉化的。

谷歌瀏覽器相比於其他的瀏覽器，執行速度要快。是因為它占用了更多的記憶體空間，以空間換取了時間。

演算法中，例如判斷某個年份是否為閏年時，如果想以時間換取空間，演算法思路就是：當給定乙個年份時，判斷該年份是否能被4或者400整除，如果可以，就是閏年。

如果想以空間換時間的話，判斷閏年的思路就是：把所有的年份先判斷出來，儲存在陣列中（年份和陣列下標對應），如果是閏年，陣列值是1，否則是0；當需要判斷某年是否為閏年時，直接看對應的陣列值是1還是0，不用計算就可以馬上知道。