團滅 LeetCode 打家劫舍 問題

leetcode 「打家劫舍」系列問題共有三道:

198.打家劫舍

213.打家劫舍ii

337.打家劫舍iii

int rob(vector& nums)；

建模：給定陣列 nums中都是正整數，nums中相鄰的數不能同時取，制定一種取數策略，

使得取到的nums中的數和最大，返回取到的數的最大和。

思路：題目很容易理解，而且動態規劃的特徵很明顯。解決動態規劃問題的關鍵就是找「狀態」和「選擇」。

1. 定義狀態：定義dp[i] 表示 陣列 nums[0:i]取數返回的最大和；

2. 狀態轉移： 根據數學歸納的方法， 求狀態轉移方程就是  假設 dp[0,1,2,...,i-1]都已知 求dp[i] 。

若 取 nums[i]  就不能取 nums[i-1]，dp[i] = nums[i] + dp[i-2]  ；若不取 nums[i]  ,則 nums[i-1] 可以取

也可以不取,dp[i] = dp[i-1]，dp[i] 取兩種選擇的最大值。最終的狀態轉移方程為：

dp[i] = max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i])

狀態轉移方程中 有dp[i] ,dp[i-1]  ,dp[i-2],為了保證陣列的下標從0開始，i 應從 2 開始，dp[0],dp[1],應該作為

base case 在狀態轉移之前處理好。因為只涉及到相鄰 3 個狀態，所以 可以將狀態陣列空間壓縮，使用

兩個變數 front ，before_front 記錄狀態。

**如下：

1

int rob(vector&nums)214
return
front;
15 }

這題和第一題 唯一的不同是nums由普通陣列變成了環陣列，即  nums[n-1 ] 和 nums[0] 也是相鄰的，

在選擇是否取  nums[n-1] 時，需要考慮到 nums[n-2] 和nums[0] 都是相鄰的，選擇nums 中的其他元素 和

1

int rob(vector&nums)213
14int rob_helper(vector& nums,int low,int
high)
1528
return
front;
29 }

第一題的房子排列是 乙個普通的陣列，要求不能取相鄰的房子內的錢。第二題的房子排列成乙個環形陣列，

首尾相接，要求不能取相鄰的房子內的錢。第三題的房子分布在一顆二叉樹上的節點上，要求不能取相鄰的房子內的錢。

方法一：備忘錄 + 遞迴 

思路分析：二叉樹問題，顯然可以用遞迴解決。根據題意，對二叉樹的根節點：

1. 如果不取根節點的房子的錢，則作為根節點的相鄰節點，根的左節點和根的右節點 都可以取 可以不取，遞迴地計算

左子樹和右子樹，然後相加就可以了。

2. 如果取根節點的房子的錢，則根的左節點和根的右節點 都不能取了，遞迴地計算根節點的左節點的左子樹、根節點的

左節點的右子樹、根節點的右節點的左子樹、根節點的右節點的右子樹，將 4 個遞迴計算得到的結果再加上 root->val 就是

取根節點的房子的錢 這種選擇的結果。

3. 在1,2 兩個結果中取最大值即得到最終的結果。

注：在遞迴計算的過程中，計算得到的子樹的結果存到備忘錄中，避免重複計算，提高效率。

**如下：

1

class
solution 
18 }

方法二： 更高效漂亮的遞迴

1

introb(treenode root) 56
/*返回乙個大小為 2 的陣列 arr
7arr[0] 表示不搶 root 的話，得到的最大錢數
8arr[1] 表示搶 root 的話，得到的最大錢數 */9
int dp(treenode root) ;
12int left =dp(root.left);
13int right =dp(root.right);
14//
搶，下家就不能搶了
15int rob = root.val + left[0] + right[0
];16
//不搶，下家可搶可不搶，取決於收益大小
17int not_rob = math.max(left[0], left[1
])18 + math.max(right[0], right[1
]);19
20return
newint
;21 }

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