最大流五大演算法簡述

網路最大流的演算法共有兩大類5種演算法總體如下表：n為頂點數，m為弧的數目，u代表各條弧的最大容量

演算法名稱

複雜度演算法概要

一般增廣路演算法

$o(nmu)$

採取標號法每次在容量網路中尋找一條增廣路進行增廣(或在殘留網路中每次任意尋找一條增廣路進行增廣)，直至不存在增廣路為止。

最短增廣路演算法

$o(nm^2)$

每個階段：在層次網路中，不斷用bfs演算法進行增廣直至不存在增廣路為止。如果匯點不在層次網路中，演算法結束。

連續最短增廣路演算法(dinic)

$o(n^2m)$

在最短增廣路演算法的基礎上改造：在每個階段，用乙個dfs過程實現多次增廣。如果匯點不在層次網路中，則演算法結束。

一般預流推進演算法

$o (n^2m)$

維護乙個預流，不斷地對活躍頂點執行推進(push)操作或重標號(relabel)操作來調整這個預流，直到不能操作。

最高標號預流推進演算法

$o( n^2\sqrt m)$

每次檢查具有最高標號的活躍結點

$f(u,v) = f(u,v) + a\ when\in p+$

$f(u,v) = f(u,v)+a\ when \in p-$

$ f(u,v) = f(u,v) \ when \notin p$

通過bfs來進行多次增廣路的優化 **如下:

#includeusing namespace std;
#define maxn 1000
#define inf 1000000//根據題目條件改變
struct arctype ;
arctype edge[maxn][maxn];
int n,m;
int flag[maxn];//頂點狀態:-1未標號 0已標號未檢查 1已標號以檢查
int pre[maxn];//標號的第乙個分量:指明從哪個點得到,以便找出可改進量和增廣路徑
int alpha[maxn];//標號的第二個分量:可改進量a
queueq;
int v;
void ford() 
else if(edge[i][v].c < inf && edge[i][v].f > 0) }}
flag[v] = 1;
}if(flag[n-1] == -1 || alpha[n-1] == 0) break;//當匯點無需調整，退出迴圈
int k1 = n-1,k2 = abs(pre[k1]);
int a = alpha[n-1]; 
while(1) 
}int maxflow = 0;
for(int i = 0;i < n;i++) 
}printf("maxflow:%d\n",maxflow);
} int main() 
for(int i = 0;i < m;i++) 
ford();
return 0;
}

複雜度簡要分析:

很明顯，如果容量網路中各弧的容量和初始流量均為正整數，則ford-fulkerson演算法每增廣一次，流量至少會增加乙個單位，因此ford-fulkerson演算法肯定能在有限的步驟內使得網路流達到最大。類似的理由可以說明如果弧上的容量為有理數時，也可在有限的步驟內使得網路流達到最大。但是如果弧上的容量可以是無理數，則該演算法不一定在有限步內終止。

由於割$ , v-$ 中前向弧的條數最多為n條，因此最大流流量|f|的上界為nu(u表示網路中各個弧的最大容量)。此外，由於每次增廣最多需要對所有弧檢查一遍，所以ford-fulkerson演算法的時間複雜度為$ o(mnu)$ 。

例題：poj1149

預流：設$f = \$ 是容量網路的乙個網路流，如果g的每一條邊弧都滿足: $0\leq f(u,v) \leq c(u,v)$

另外，除源點匯點以外每個頂點u的盈餘e(u)都滿足：$e(u) \geq 0$ 則稱該網路流是g的預流。

預流推進通過不斷的對活躍節點的改進來達到最大流

模板如下：

using namespace std;
const int maxn = 110;
const int maxf = 0x7fffffff;
int n,np,nc,m;
int resi[maxn][maxn];
dequeact;
int h[maxn];
int ef[maxn];
int s,t,v;
void push_relabel() 
}if(u != s && u != t && ef[u] > 0) 
} printf("%d\n",sum);
}

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