對於單位矩陣座標基，上的向量x（x1, x2,...xn）
對於基(a1, a2...an), 兩個基的互相表示為 (a1, a2...an) = i * (a1, a2...an)
將向量x的座標轉移到（a1,a2...an）上，（a1,a2...an）y = i x ====> y=[（a1,a2...an） ]^(-1)*x
假如：a=[（a1,a2...an） ]^(-1)
那麼ax實質上，不就是座標變換麼，或者說，對於任意的可逆矩陣a，ax的結果事實上就是令a逆作為座標系的乙個座標變換而已。
對於線性空間中的一組基而言，如果對基進行了線性變換，其結果仍然是可以由基線性表示出來的。基向量組乘以某個矩陣即為進行線性變換後的基向量組。
線性空間中任意向量都可以表示成某個基向量組的線性組合，對該向量的線性變換即為對該基向量組的線性組合的線性變換。進而可以表示成對該基向量組中每個向量進行線性變換後乘以待線性變換的那個向量
進一步的，便可以應用1中，將基向量的線性變換表述成基向量組乘以乙個矩陣的形式。從而講對向量x的線性變換轉換成基向量乘以矩陣a再乘以向量x的形式。
因此，在給定基下的座標變換公式即為y=a*x
證明：對於n維線性空間v上的線性變換，t: v->v， 將基（a1,a2,...an）對映為（t(a1),t(a2)...t(an)），由於t(ai)仍然是a1,a2...an的線性組合，那麼（t(a1),t(a2)...t(an)）可以由（a1,a2...an）表示出來：
t(a1,a2...an) = (（t(a1),t(a2)...t(an)）)=(a1,a2...an)
b21 b22... b2n
*[b11 b12 ...b1n]
...bn1 bn2... bnn
= (a1,a2...an)b
對於任意的在基(a1,a2...an)下的向量y=x1a1+x2a2+....xnan, 線性變換t
則t(y)= t((a1,a2...an)x)=t(a1,a2...an)x=(a1,a2...an)bx
那麼在給定基(a1,a2...an)下的原像與像的座標變換公式為 ： y= bx
由此可知：1.矩陣其實就代表著一種線性變換；2.如果把(a1,a2...an)b看做是乙個新的基的話，那麼事實上線性變換其實也可以看做是座標系的變換。這就是運動是相對的這個概念。
幾個特殊的變換：
旋轉變換：
[v1 = [cosa sina * [x1
v2] -sina cosa] x2] 線性空間r^2中的向量均繞原點順時針旋轉角a
單位變換：
iy零變換
0y同乙個線性變換，在不同的基下，線性變換的矩陣表現形式是不同的。那麼這些矩陣由什麼樣的共同點麼？這裡就引出來特徵值了。
對於v > v上的線性變換t在基(a1,a2...an)與基(b1,b2...bn)下的矩陣表現形式分別為：(a1,a2...an)a, (b1,b2...bn)b
基(a1,a2...an)到 (b1,b2...bn)的過渡矩陣為p， 即(b1,b2...bn)=(a1,a2...an)p。(這個東西與(a1,a2...an)a 是如此的類似，於是我們就理解了，所謂線性變換其實完全可以理解為是座標系，基的變換)
(b1,b2...bn)b=t(b1,b2...bn )=t(a1,a2...an)p=(a1,a2...an)ap=(b1,b2...bn)p^(-1)ap
4.得出：b=p^(-1)ap
同乙個線性變化在不同基下的矩陣是相似的，上面的公式便是相似的定義。
那麼現在問題來了，乙個線性空間具有無數個基，這意味著表示同乙個線性變換的矩陣也有無數個，假設由這些矩陣所構成的矩陣空間為g, 那麼可否找出這無數個矩陣的共同點呢？
再考慮到公式b=p^(-1)ap，對於所有的這些矩陣而言，毫無疑問都是和a相似的，那麼可否用a作為這些矩陣的共同點，也就是說用矩陣a作為矩陣空間g的乙個參考係呢？
這樣的話，盡量簡化a便是乙個好的選擇，而使乙個矩陣盡量簡化的話（該矩陣必須為非奇異），那麼讓該矩陣為乙個對角矩陣了，那麼，又能否得出乙個對角矩陣，能夠用它來作為矩陣空間g的乙個參照點呢？
那麼，我們現在假設這個對角矩陣a'是存在的：
a』=[lamda1
lamada2
...lamda_n]
那麼有bp(-1)=p(-1)a',為便於表示，我們將p^(-1)寫作p,那麼為：bp=pa', 令p=（p1,p2...pn）
於是有了特徵值與特徵向量的定義：bp_i=lamda_ip_i
由這個公式，我們可以求出特徵值和特徵向量，如果求得的特徵值的個數為n個的話（包括重根），那麼對角舉證a'存在也就是可以的了。也就是說矩陣可以對角化了。
也即意味著矩陣空間g能夠使用乙個對角矩陣作為其特徵，或者說作為其參照。
這個對角矩陣也就是矩陣空間g中所有矩陣所代表的不變的線性變換的乙個參照。我們讓該參照的基為單位向量基。那麼矩陣空間g中的其它矩陣的特徵向量矩陣便是各自線性變換所基於的基的逆。
綜上，上面就是特徵值與特徵向量，矩陣對角化的由來。
上面所主要考量的是特徵值，特徵值代表的是某個矩陣所代表的線性變換，而特徵向量就意味著該矩陣所代表的基了。
上面所考慮的情況都是在方陣下的，但經常我們會碰到mn的矩陣x，這個時候我們會使用t(x)x,那麼這個矩陣便是n*n型的了。對於這個矩陣而言，他有個特點，即這個矩陣是對稱矩陣。
在不同的基下，相同的線性變換的矩陣表現形式是不同的。這些不同的矩陣是相似矩陣，具有相同的特徵值，不同點在於特徵向量不同，而該特徵向量實質上就是矩陣所代表的線性變換所基於的基向量。
高併發的下的資料庫設計
現在都什麼年代了，還拿著sql server mysql oracle 讀取資料呢，好你們遇到的問題我來給你們解答下 在高併發情況下，談談資料庫與redis之間如何進行資料同步 寫，讀 即能保證業務的完整性，又能提公升效能 方式1 資料庫儲存資料，redis不persist redis啟動後，從資料...
Web程式的高併發場景下的資料同步
在用servlet構建的web應用時如果不注意執行緒安全的問題，會使所寫的servlet程式有難以發現的錯誤。其實所有web程式實現都需要注意這些問題。1 實現singlethreadmodel介面 將引起大量的系統開銷 2 同步對共享資料的操作 被同步的 塊在同一時刻只能有乙個執行緒執行它，使得其...
資料結構筆記 線性表（下）
了解過線性表的鏈式儲存結構以後，有人就想出來用陣列來代替指標，來描述單鏈表。看看他們是怎麼做到的。讓陣列的元素都由兩個資料域組成，data和cur。也就是說，陣列的每個下標都有對應的乙個data和cur。資料域data，用來存放資料元素，而cur相當於單鏈表中的next指標，存放該元素的後繼在陣列中...