問題：請編寫乙個方法，功能是實現傳入兩個正整數，返回他們的最大公約數
public static int math(int a, int b)
分析： 關於這道題的演算法有多種，我們今天只研究下面這種演算法：
1 public static int math(int a, int b)
8 return a;
9 }
初看這個解法，你可能會一頭霧水。再看看，更是不知所云。甚至懷疑這樣算是不是可 以得到正確結果，但經過測試你會發現的確可以得到正確結果，這究竟是為什麼呢？讓我們 來分析一下這個演算法，為了便於敘述，把行號加上：
第 1 行，程式呼叫這個方法時會傳入兩個正整數 a 和 b
第 2 行，宣告乙個 int 型別的變數 hold 並賦初值 0；第 3-7 行是乙個 while 迴圈，迴圈條件是 b!=0；
第 4 行，用 hold 來儲存 a%b 的結果
第 5 行，把 b 的值賦給 a
第 6 行，把 hold 的值賦給 b
若 b 不為 0，則進行下一次迴圈，直到 b=0 時停止迴圈
最後第 8 行把 a 的值返回。
首先我們假設程式只進行一次迴圈，也就是說：方法傳入 a 和 b 時
第 4 行，hold=a%b=0；
第 5 行，a=b；
第 6 行，b=hold=0；再進行第 3 行判斷迴圈停止
第 8 行，返回 a 的值，也就是第 5 行中方法開始時傳入的 b 的值，這說明： 如果 a%b=0 那麼 a 和 b 的最大公約數就為 b，
這點好理解，a%b=0 也就是說 a 能被 b 整除，那當然 a 和 b 的最大公約數就是 b 了。 關鍵是如果不是進行一次，而是進行多次迴圈呢？
為了便與理解，我把上面的程式改為遞迴演算法：
1 public static int math1(int a, int b)
5 int hold = a % b;
6 a = b;
7 b = hold;
8 return math1(a, b);
9 }
第 1 行，程式呼叫這個方法時傳入兩個正整數 a 和 b
第 2－4 行，如果 b 等於 0 返回 a 的值
第 5 行，宣告乙個 int 型別的變數 hold 儲存 a%b 的結果
第 6 行，把 b 的值賦給 a
第 7 行，把 hold 的值賦給 b
第 8 行，遞迴呼叫，直到 b 的值為 0 時返回 a 的值
最後第 8 行把 a 的值返回。
在首次呼叫這個方法傳入 a 和 b 的值時第 3 行肯定不會執行，而是執行 5－8 行的**， 由第 8行，我們可以看出程式的意思是 a和 b的最大公約數與 b和 a%b 的最大公約數相同。
假設程式進行三次遞迴：
第一次程式傳入 a 和 b，
3530
第二次相當於傳入 b 和 a%b，305
第三次相當於傳入 a%b 和 0；（上次中 b%(a%b)=0）50
最後程式返回 a%b。
5由此我們可以得到如下兩個命題：
命題一：a 和 b 的最大公約數與 b 和 a%b 的最大公約數相同；
命題二：如果 b%(a%b)=0，那麼 a 和 b 的最大公約數為 a%b，（其中 a，b 都為正整數，且 a%b!=0）。
我們先看命題一：a 和 b 的最大公約數與 b 和 a%b 的最大公約數相同。 證明：由於 a%b!=0 則 a!=b，當 a當 a>b 時可設 a 和 b 的最大公約數為 x；
a=mx，b=nx，其中 m 和 n 為正整數且 m 與 n 互質（除 1 之外再無其它公因數） 則可設：a%b=(m-kn)x，其中 k 為正整數
這說明：b 和 a%b 有公因數 x，下面證明 n 與 m-kn 互質 假設 n 與 m-kn 有公因數 y，y 為正整數且 y 不等於 1 則可設：n=py，m-kn=qy，其中 p 和 q 為正整數 那麼：m-kn=m-kpy=qy
可得：m=kpy+qy=(kp+q)y
這說明 m 和 n 有公因數 y，與 m 和 n 互質相矛盾，故 n 與 m-kn 互質 由此得 b 和 a%b 的最大公約數也為x，命題一得證。
再看命題二：如果 b%(a%b)=0，那麼 a 和 b 的最大公約數為 a%b
為了便於證明我們修改一下這個命題：
已知：m 為正整數，a=mb+x（即 a%b=x），b 能被 x 整除（即 b%x=b%(a%b)=0），
求證：a 和 b 的最大公約數為 x（即 a%b） 證明：因為 b 能被 x 整除，故可設
b=nx，（其中 n 為正整數）
則：a=mb+x
=mnx+x
=(mn+1)x
所以：a 也能被 x 整除 那麼：
a 和 b 的最大公約數一定是 x 的倍數，假設為 kx，其中 k 為正整數 則可設：
a=pkx，b=qkx，其中 p 和 q 都為正整數
那麼：a=mb+x
=mqkx+x
=(mqk+1)x=pkx
故：mqk+1=pk
解出 k 得：
k=1/(p-mq)
由於：其中 m、p、q、k 都為正整數故：k 的值只能為 1
所以：a 和 b 的最大公約數為 x，命題二得證。
至此問題得以解決。
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