子矩陣解題報告

目錄2. 動態規劃

3. 一半dfs一半dp

總結時間到！

在乙個n行m列的矩陣中，選出乙個r行c列的子矩陣，使相鄰元素的差的絕對值的和最小。

解題思路

在乙個n行m列的矩陣中，選出乙個 \(r\) 行 \(c\) 列的子矩陣，相當於乙個 \(n\) 行 \(m\) 列的矩陣，在 \(n\) 行中選出 \(r\) 行，在 \(m\) 列中選出 \(c\) 列，選出的行和列相交的點就是選出的數。

所以乙個很簡單的辦法，就是列舉 \(n\) 行中選哪 \(r\) 行， \(m\) 列中選哪 \(c\) 列。這就是乙個組合問題，相當於列舉 \(r \choose n\) 和 \(c \choose m\)。

這個演算法的時間複雜度，就是列舉的 \(r \choose m\)

\(\times\)

\(c \choose m\) 在乘上計算的 \(r \times c\) ，剛好可以得60分。

**大致是這樣實現的：

列舉 \(r \choose m\)

在第二步列舉完後求值，更新答案

列舉組合，可以用dfs來實現：

int n, r, a [ maxn + 1 ];
void solve ( int step )
for ( int i = a [ step - 1 ] + 1; i <= n; i ++ ) a [ step ] = i, solve ( step + 1 );
}

你可以拿這個**去實現一些題目（當然不行），你會發現，在 \(n<=15\) 的時候大致可以過（主要看評測機是賽揚還是i99900k），但是你可以試一試這道題，tle的很厲害。

仔細觀察i的範圍，這裡顯然可以做一些優化。

"\(i <= n\)" 這個範圍很不合理，如果剩餘空間不夠 \(r - step\) 個，肯定不可能。

因此，\(n - i\) 必須 \(>= r - step\)，轉化得到 \(i <= n - r + step\)。

**只用修改一處，就是把for ( int i = a [ step - 1 ] + 1; i <= n; i ++ )變為for ( int i = a [ step - 1 ] + 1; i <= n - r + step; i ++ )。

**1回到這道題目上，**實現很簡單：

//主程式請自行實現
void dfs1 ( int step )
for ( int i = row [ step - 1 ] + 1; i <= n - r + step; i ++ ) row [ step ] = i，dfs1 ( step + 1 ); }
void dfs2 ( int step )
for ( int i = col [ step - 1 ] + 1; i <= m - c + step; i ++ ) col [ step ] = i，dfs2 ( step + 1 );
}

如果用dp，可以參考其他題目這樣寫：

\(f [ n ] [ r ] [ m ] [ c ]\) 表示 \(n\) 列中取 \(r\) 列，\(m\) 列中取 \(c\) 列，第 \(n\) 行和第 \(m\) 列必須取時的最小分值。

但這樣寫會出現狀態不明確的問題，也就是有後效性。

不能全部用dp，那咋辦？？？

別急，看後面》

解題思路

既然全部dp或者記憶化狀態會不明確，那麼通過再列舉就可以確定狀態了（這裡選擇列）。

\(f [ i ] [ j ]\) 表示 \(i\) 列中取 \(j\) 列，第 \(i\) 列必需取的最小分值

\(f [ i ] [ j ] = \min_ ^ + \sum_ ^ }\)

(\(2 \leq i \leq m, 2 \leq j \leq min ( i, c ), j - 1 \leq k < i\))

這樣寫出的dp大致是這麼一坨東西：

/*
請先預處理：
col [ i ] 表示i列內部的分值（相當於第乙個sigma）
cc [ i ] [ j ] 表示第i列與第j列相鄰時，他們列之間相差的分值（相當於第二個sigma）*/ 
for ( int i = 2; i <= m; i ++ )
for ( int j = 2; j <= min ( i, c ); j ++ )
for ( int k = j - 1; k < i; k ++ )
f [ i ] [ j ] = min ( f [ i ] [ j ], f [ k ] [ j - 1 ] + col [ i ] + cc [ k ] [ i ] );

再結合一下之前的dfs，寫出**：

**2

//同樣，主程式請自行實現
//碼風小清新，多多照顧
//適當做了一些優化（630ms）
void dfs ( int x )
}} for ( int i = 1; i <= m; i ++ )
}for ( int i = 1; i <= m; i ++ )
for ( int i = 2; i <= m; i ++ )
}} for ( int i = c; i <= m; i ++ )
return;
} for ( int i = row [ x - 1 ] + 1; i <= n - r + x; i ++ )
}

誒，這道題主要是乙個dfs和dp結合的玩意。

當發現dfs轉dp會產生後效性時，有兩種方法：

加狀態再搜尋

第一種方法顯然不現實十六維陣列，為啥不給把16g記憶體全用上呢？（手滑=手動滑稽

那就只能用第二種方法，就產生了這一坨dfs+dp的東東。

解這種煩人的村民題時，一般先打乙個暴力（noip2014，如果前三題ac，一等獎穩穩的），再去優化成dp or 記憶化。

哎嗎，這篇題解寫了我好幾年喲，贊乙個唄

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