在實數域上定義二元有序對z=(a,b)，並規定有序對之間有運算"+"、"×" (記z1=(a,b),z2=(c,d))：
z1z1
容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成乙個域，並且對任何複數z，有
z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)
令f是從實數域到複數域的對映，f(a)=(a,0)，則這個對映保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視為複數域的子域。
記(0,1)=i,則根據我們定義的運算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。
概念
（a，b是任意實數）
中的實數a稱為複數z的實部，記作rez=a，實數b稱為複數z的虛部，記作 imz=b。
當a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數。
複數的集合用c表示，實數的集合用r表示，顯然，r是c的真子集。
複數集是無序集，不能建立大小順序。
對於複數
，它的模
運算法則
加法法則
幾何意義：座標為a,b代表a+bi，相加相當於與原點相連的向量相加，平行四邊形定則
乘法法則
幾何意義：模長相乘
除法法則
叫複數a+bi除以複數c+di的商。
運算方法：將分子和分母同時乘以分母的共軛複數，再用乘法法則運算，
即開方法則
若zn=r(cosθ+isinθ），則
（k=0，1，2，3…n-1）
運算律
加法交換律：z1+z2=z2+z1
乘法交換律：z1×z2=z2×z1
加法結合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法結合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)
分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3
i的乘方法則
i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（其中n∈z）
之後迴圈。。。
分類
複數分為實數和虛數兩大類.
實數又分為有理數和無理數兩大類.
有理數可分為整數和分數兩大類,
整數可分為正整數,負整數,0.
分數可分為正分數,負分數.
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