詳解約瑟夫環問題 C C

約瑟夫問題：n個人圍坐成一圈，從1開始順序編號；遊戲開始，從第乙個人開始由1到m迴圈報數，

報到m的人退出圈外，問最後剩下的那個人原來的序號。

問題分析：面對這樣迴圈報數的資料，我們最容易想到的就是用陣列進行報數的模擬，最後把存活的人的編號輸出。

先貼上這種思路的**：

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include// find() 函式67
intmain()
21 it++;22}
23 it=find(s.begin(), s.end(), 1
);24 cout<1;25
return0;
26 }

**思路是採用 vector容器來儲存每乙個人的存在狀態，如果在圈內參與報數，則值為1，退出圈後為0 。dead 是退出圈不參與報數的人數，

作為報數停止的條件，即當 dead == n-1 時，報數停止。cnt 是每乙個人報的數，當 cnt == m 時，報該數的人退出圈不再參與報數，在vector陣列中

的位置變為 0。

第十行，使用vector的迭代器來表示報數成員所對應的下標，while迴圈中即報數的模擬過程。

第十四行，因為迭代器執行過程中，可能指向 s.end() ，這一位置並不在vector

內，且沒有有意義的資料，於是把迭代器重新指向 s.begin() ，這一過程解決了環形報數中第乙個人和最後乙個人連線的問題。

第十五行，表示報數過程，vector 陣列中，此成員參與報數的話，cnt++ ，模擬報數的進行。

第十六行開始，遇到報到 m 的人，vector 中所對應的資料變為0，dead++ ，表示不再參與報數。cnt 置 0 ，表示所報數字重新從1開始（為什麼不讓cnt=0：因為下乙個人出現時，才會自增1）。

第二十三行，得到最後那個人的迭代器指向。由於 vector 迭代器是隨機訪問迭代器，支援加減運算，所以剛才得到的迭代器指向減去 s.begin() ，就是最後留下的人所對應的下標（為什麼不是他的原序號：因為下標從 0 開始計數），該結果再加一就是最後留下的人的原序號。

模擬的效率似乎不是很高，而且**量也不算少，那有什麼簡單的辦法呢？

先貼**：

遞迴呼叫：

#include#include
int joseph(int n, int
m)int
main()

題目要求出最後剩下的人的原序號，即該人所對應的下標 +1 。設 f (n , m) 是倖存者所對應的下標，

則找出 f (n , m) 與 f(n-1 , n) 的遞推關係便可以寫出遞迴函式。

以f(4, 2)舉例：

1　　2　　3　　4

3　　4　　1

1　　3

1我們只需要關注下標的變化即可。當 n=1 時，f(1 , m)必然等於 0 。而當 f (4 , 2) 變為 f (3 , 2) 時，

陣列整體向左移動了 m=2 。反過來可知，當 f (3 , 2) 變為 f (4 , 2) 時，陣列整體向右移動了 m=2。

即 f (3 , 2)+2 = f (4 , 2)。

考慮到實際情況為環形報數，處理後的資料可能存在溢位，所以每次結果對所剩人數 n 取餘，從而得到

實際的下標。

即 ( f (3 , 2)+2 ) % 4 = f (4 , 2)

即 ( f (n-1 , m)+m ) % n = f (n , m)

此時已得到遞推關係，則可得到倖存者所對應的下標。又因為報數時從 1 開始報數，所以下標+1便是倖存者的原序號。

由上述關係，同樣可以寫出遞推的**：

1 #include2 #include3
using
namespace
std;45
intmain()
12 location++; //
下標加一就是成員原序號
13 cout<14return0;
15 }

第九行中的 q ，作為迴圈條件的同時，也是每一次遊戲中的所剩人數，協助完成第乙個成員和最後乙個成員的連線。

如果遊戲規則拓展後，情況又應該是怎樣的呢？可以看另一篇部落格：

約瑟夫環問題拓展 c/c++