已知乙個平面plane以及任一點\(v_i(x_i,y_i,z_i)\)，計算點\(v_i\) 到平面plane的投影。
給定的平面plane的方程為：
\(ax+by+cz+d = 0\)
過點\(v_i\) 到平面plane的垂足記作$ ^\prime(x,y,z) $ ，則直線\(v_i^\prime\) 與平面的法向量\(\overrightarrow\) 平行，直線\(v_i^\prime\) 的引數方程為：
\(\cases\)
將點\((x,y,z)\)帶入平面方程，求出\(t\):
\(t=\dfrac \)
再將\(t\) 帶入直線的引數方程就求出了投影點$ ^\prime(x,y,z) $ 。
平面由法向量\(\overrightarrow n(a,b,c)\), 平面上的一點\(o(x_0,y_0,z_0)\) 所確定，只要\(\overrightarrow n\mathrel\llap}0\) ，確定的平面就是唯一的。
任一點$v_i(x,y,z) $, 在平面的投影點為 $ ^\prime (\prime,\prime,^\prime) $ 。
有以下幾何關係：
1)\(v_i^\prime \parallel \overrightarrow n\), 2)\(o^\prime\perp \overrightarrow n\)
由平行關係可得到方程組：
\(\dfrac^\prime -x }a = \dfrac^\prime -y }b = \dfrac^\prime -z }c=t\)
\(\rightarrow\)
\(\cases^\prime=x+at \cr ^\prime=y+bt \cr ^\prime=z+ct}\) (1)
由垂直關係可得到方程：
\(a(^\prime-x_0)+b(y^\prime-y_0)+c(z^\prime-z_0)=0\)
\(\rightarrow\)
\(ax^\prime+by^\prime+cz^\prime=ax_0+by_0+cz_0\) (2)
由方程(1)(2)求解出\(t\):
\(t=\dfrac\) (3)
再把\(t\)的值帶入方程(1)就求出了投影點$ \prime(\prime,\prime,\prime) $ 。
平面由三個不共線的點\(o(x_0,y_0,z_0)\),\(p_1(x_1,y_1,z_1)\) 和\(p_2(x_2,y_2,z_2)\) 構成。
計算投影點\(^\prime(x,y,z)\) 的思路大致是先計算出平面的法向量\(\overrightarrow(a,b,c)\),此時問題轉化為了第2節中的方法求解。
\(\overrightarrow=\overrightarrow\times\overrightarrow=\begini & j & k\cr & & \cr & y_2-y_0 & z_2-z_0 \end\)
由此計算出\(\overrightarrow n(a,b,c)\) 的三個值：
\(\cases\)
之後的按照第二節中的方法計算求出點\(^\prime(x,y,z)\) 的座標。
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