求
\[\prod_^\sqrt}
\]\(\large\text\)
\[\frac-e^}\pi}
\]（還是稍微寫下過程吧
起因是 \(\text\) 丟給了我一道題：
\[\sum_^\arctan\left(\frac\right)
\]不妨先來看看這一道題。那個 \(\frac\) 是乙個角的 \(\tan\) 值，那麼 \(\arctan\) 就是這個角的大小。要求的就是一堆角加起來的值。
這很像複數的乘法法則：幅角相加，模長相乘。同時複數也可以很好地表達乙個角的三角函式值，所以考慮轉化為複數的問題。
注意這裡我們需要關注的只是它的幅角而已，所以不必要求模長為 \(1\)。
現在我們要求
\[\prod_^\left(1+\fraci\right)
\]在小學一年級的時候，老師曾告訴我們：
\[\frac = \prod_^\left(1-\frac\right) \tag$}
\]所以原式就等於：
\[\frac
\]再用 \(\sin x=\frac-e^}\) 把分子展開，化簡可得：
\[\frac-e^}(i-1)
\]再重複一遍：我們關注的是它的幅角。所以答案顯然為 \(\frac\)。
不過還有一些小細節要處理：乙個三角函式值可能對應多個幅角。這個問題容易處理：通過簡單的放縮可以得到那個式子的值是小於 \(\pi\) 的。
回到原問題。如果你很不幸在第二個問題中的第一步把所有複數的模長化為了 \(1\)，也就是求了 \(\prod_^\left(\frac}+\frac}i\right)=\frac^\arctan\left(\frac\right)}^\sqrt}}\)（很顯然它的模長為 \(1\)），那麼你將很難得到最終需要的結果。但是當你換個思路求出原問題的答案之後，你就意外地得到了這樣乙個結果：
\[\prod_^\sqrt} = \frac-e^}\pi}
\]啊，意外的收穫！
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