可並堆左偏樹斜堆

經典的二叉堆已經可以在$o(\log n)$的複雜度的情況下維護堆這樣的資料結構，也有d-堆可以維護成$o( \log_d n)$（雖然pop操作的複雜度是$o(d \log_d n)$），然而這兩種堆不能滿足$o(\log n)$的合併操作，它們的經常是$o(n \log n)$，即每次將乙個堆中的堆頂拿出來放到另乙個堆裡。雖然有很多情況不經常合併，但有時候我們就是想要合併堆，還想頻繁地合併，這時候二叉堆的效能就顯得不是很好了。左偏樹首先解決了合併問題。

左偏樹像二叉堆一樣是個二叉樹，但是並不是完全二叉樹。左偏樹定義時用到了乙個附加值：$npl$。$npl(x)$指節點$x$通向$null$的最短路徑。若$x$只有乙個子節點或者沒有，那麼$npl(x)=0$；否則，若規定$npl(null)=-1$，則$npl(x) = \min \ + 1$。乍一看像是高度的定義，只不過$\max$換成了$\min$。

左偏樹的定義如下：對於左偏樹$t$，要麼沒有子樹或只有左子樹，要麼左右子樹$l$、$r$滿足：$mpl(l) \geq npl(r)$，同時左右子樹都是左偏樹。

滿足條件的左偏樹有性質：

1、對於樹根$t$，總有：$npl(t) = npl(right(t)) + 1$。

2、對於$t$，若$npl(t) = l$，則整棵樹的節點數不少於$2^l -1$。

性質1很好得出；性質2書上利用數學歸納法。不過簡單講就是

$npl(left(t)) \geq l-1$，對於每個具有左右子樹的結點$x$，若$npl(x) = l_i$，取$npl(left(x)) = l_i-1$，同時由性質1得對應的右子樹$npl(r) = l_i - 1$，可得左右子樹全等（這裡用到數學歸納法），那麼這就是一棵滿二叉樹，$n = 2^l - 1$，由於左子樹總是可以比這種情況還多任意多節點，所以

這樣就可以得到性質2。性質2反過來講相當於若$t$有$n$個節點，那麼$npl(t) \leq \log n$（相當於右路徑的長度）（右路徑為從根一直通向右子樹直到$null$的路徑）。左偏樹滿足這個性質後，總是把合併放到右路徑上解決，這樣保證了合併也是$o(\log n)$的時間複雜度。

合併是這樣的：合併兩棵樹時，令根的鍵值小樹的根為新根，再遞迴合併新根的右子樹和另一棵樹。回溯時若發現某一結點不滿足左偏樹的定義，即左子樹的$npl$小於右子樹的$npl$，那麼交換左右子樹，這樣合併操作總能保持$o(\log n)$。這樣做之後，插入即合併乙個節點和原樹，刪除堆頂即合併樹根的兩個子樹作為新根。

**：

#include#define min(a,b) (a#define nil 0
#define mxn 100000+1
intval[mxn],left[mxn],right[mxn],npl[mxn],recycle[mxn];
int root,ntop,rtop=-1
;int newnode(int
k)void update(int
now)
void swap(int &a,int &b)
int merge(int a,int
b);int merge1(int a,int
b);int merge(int a,int
b)int merge1(int a,int
b) 
returna;}
void insert(int
k)int
top()
void
pop()
intmain()
if(p==3
) pop();
}return0;
}

leftist heap

另外講一下左偏樹的變種：斜堆。斜堆只是把$npl$這個限制條件拿掉，每次合併不論情況，總是交換左右子樹，這樣使得期望的複雜度是$o(\log n)$。像splay一樣，斜堆是自調整式資料結構，不需要記錄任何額外變數。但是斜堆存在的劣勢是右路徑有時可能變得較長，面對較大資料遞迴時可能超過深度。不過左偏樹和斜堆都可以寫出非遞迴的程式，所以這不是太大的問題。

注：雖然在堆裡實現查詢多數情況下不現實，但是有時候堆還是被要求具有更改某些節點鍵值的不合理操作。如果想要具有減小鍵值這一操作（暫時不管如何找到應該減小鍵值的節點），那麼左偏樹或者斜堆都要記錄父親指標，進行向上調整。不過這無法保證對數時間複雜度。這是更強大的可並堆出現的原因之一。

可並堆左偏樹斜堆

左偏樹（可並堆）

可並堆左偏樹

左偏樹可並堆模板

可並堆 左偏樹 斜堆

左偏樹（可並堆）

可並堆 左偏樹

左偏樹 可並堆 模板

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