給你乙個\(n\)
已知\(fib_0=0,fib_1=1,fib_n=fib_+fib_(n>1)\)
求\(\sum\limits_\prod\limits_^mfib_ \mod 10^9+7\)
設數列\(b_k=\sum\limits_\prod\limits_^mfib_=f(x)^k\)，所求即為\(b_n\)，我們設其生成函式為\(g(x)\)
令\(f(x)\)為\(fibonacci\)數列的生成函式，易得\(f(x)=\frac\)
又因為\(g(x)=\sum\limits_^b_ix^i=\sum\limits_^f(x)^i=\sum\limits_^f(x)^i-f(x)^0\)
得到\(g(x)=\frac-1=\frac}-1=\frac-1=\frac\)
考慮到這個式子分母只有二次項，考慮暴力分解，把\(\frac\)用待定係數法分解成\(\frac-\frac\)的形式
得到\(g(x)=\frac(\frac-\frac)\)
展開得：\(g(x)=\sum\limits_^\frac((1+\sqrt 2)^i-(1-\sqrt 2)^i)x^i\)
在\(\mod 10^9+7\)意義下，\(\sqrt 2=59713600\)
故\(b_i=\frac((59713601)^i-(940286408)^i)\)
於是我們可以用\(o(logn)\)的時間內快速求出答案
國家集訓隊 整數的lqp拆分
題面 題解見 注釋 或者我回來會放我在洛谷上寫的題解 設 g i 為i的lqp拆分的權值和，則 g i f j g i j f i 其中 g 0 0,g 1 1.以前是推式子推出來結果的，那麼今天就嘗試用生成函式做一下 設 a f i x i b g i x i 那麼 b a b a.解一下 b 發...
Luogu4451 國家集訓隊 整數的lqp拆分
題目大意 求對於所有 n 的拆分 a i 使得 sum ma i n prod mf 之和。其中 f i 為斐波那契數列的第 i 項。資料範圍 n leq 10 6 首先不要被這個 國家集訓隊 給嚇到了，其實很簡單的。首先考慮打表，逃 顯然一眼就能想到卷積，設 f x 為 f 的生成函式。則 f x...
國家集訓隊 Tree II 題解
題目傳送門 題目大意 給一棵樹，若干種操作 路徑加，路徑乘，刪邊加邊，求路徑和。看到刪邊加邊就知道是 lct lctlc t 了。路徑加路徑乘都是打個標記的事，但是在更新 sum sumsu m 的時候，sum sumsu m 不僅要乘上乘法標記，還要加上加法標記乘 siz esize size 的...