一本通 1633 例 3 Sumdiv

今天早上考試考了這道題

題意：求$ a^ $所有約數之和%9901的結果。

思路：[暴力]快速冪+線性判約數再求和，30分。

[正解]看到求約數之和，很自然想到唯一分解定理，對於正整數n， n = $ a_1a_2\dots a_n^ $ 而言，它的約數之和為 $ (1+a_1+a_1^2+\dots +a_1)(1+a_2+a_22+\dots + a_2^)\dots (1+a_n+a_n^2+\dots +a_n^) $

而 $ a^b $ 只需將一直加到 $ a_i^* b} $ 即可。直接暴力求上述多項式的解似乎有50分。

接著考慮優化，不難看出對於每乙個多項式，都是乙個等比數列的和，即$ 1+a_i+a_i^2+\dots +a_i^ = \frac-1} \(，所以

\) 1+a_i+a_i^2+\dots +a_i^ \equiv \frac-1} $ (mod p)，那麼這裡我們只需要求出 $ a_i^-1 $ 以及 $ a_i-1 $ 在%p下的逆元即可。逆元這裡可以用費馬小定理求。（我也不曉得為什麼遞推求會wa掉幾個點）

對了，如果 $ a_i-1 $ 恰好是p的倍數怎麼辦呢？這種情況下逆元是不存在的。但是由於 $ a_i-1\equiv 0 $ (mod p), 那麼 $ a_i\equiv 1 $ (mod p),這樣一來

$ 1+a_i+a_i^2+\dots +a_i^\equiv 1+1+1+\dots + 1 $ (mod p), 即 $ (b_i+1) $ %p.

code:

#include #include #include #include #include #include #include using namespace std;
//mystery_sky
//#define m 5000101
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define mod 9901
inline ll read()
while(c>='0'&&c<='9')
return x*f;
}ll a, b;
ll prime[m], tot, check[m], inv[m], cnt;
ll a[m], b[m];
inline void get_inv()
}inline ll quick_pow(ll x, ll k)
return ret % mod;
}int main() 
} }if(n > 1) a[++cnt] = n, b[cnt] = 1;
ll ans = 1;
for(int i = 1; i <= cnt; i++) 
else 
} printf("%lld\n", (ans + mod) % mod);
return 0;
}

一本通 1633 例 3 Sumdiv

10020 一本通 1 3 例 3 小木棍

一本通1587 例 3 Windy 數

一本通 1 2 例 3 曲線

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