設等邊三角形三個頂點座標 （0,0） （a，b） （c，d）
三邊相等得 l = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = (a-b)^2 + (c-d)^2
= a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - 2ac - 2bd
化解可得 l=2ac+2bd
設 （a，b，c，d）的最大公約數為b
a'=a/b b'=b/b c'=c/b
（1）那麼（a'，b'，c'，d')最大公約數為 1 （a'，b'，c'，d'中必有奇數）
（2）有l' = a'^2 + b'^2 = c'^2 + d'^2 = (a'-b')^2 + (c'-d')^2
= a'^2 + b'^2 + c'^2 + d'^2 - 2a'c' - 2b'd' = 2（ac+bd）
則l'必為偶數
因為a'和b' ，c'和d'同奇偶，所以a'，b'，或c'，d'為奇數；
(乙個奇數2x+1的平方，(2x+1)^2=4*x^2 + 4*x +1 被4除餘1）
所以 a'^2，b'^2或c'^2，d'^2 被4除餘1；
因為 l' = a'^2 + b'^2 = c'^2 + d'^2
所以 l'被4除餘2；
設 a' ，b'為奇數
1. c'，d'也為奇數
那麼l'=(a'-b')^2 + (c'-d')^2 被4除餘0，矛盾排除；
2.c'，d'為偶數
那麼l'=c'^2 + d'^2被4除餘0，矛盾排除；
綜上所述正三角形的三個頂點不能畫在格點上面（所有座標為整數）
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