動態規劃多邊形遊戲

1、問題描述：

給定n個頂點的多邊形，每個頂點標有乙個整數，每條邊上標有+(加)或是×(乘)號，並且n條邊按照順時針

依次編號為1~n。下圖給出了乙個n＝4個頂點的多邊形。

遊戲規則：(1) 首先，移走一條邊。 (2) 然後進行下面的操作：選中一條邊e，該邊有兩個相鄰的頂點，不妨稱為v1和v2。對v1和v2頂點所標的整數按照e上所標運算符號(+或是×)進行運算，得到乙個整數；用該整數標註乙個新頂點，該頂點代替v1和v2 。持續進行此操作，直到最後沒有邊存在，即只剩下乙個頂點。該頂點的整數稱為此次遊戲的得分(score)。

2、問題分析：

解決該問題可用動態規劃中的最優子結構性質來解。該問題與凸多邊形最優三角剖分問題類似，但二者的最優子結構性質不同。多邊形遊戲的最優子結構性質更具有一般性。

設所給的多邊形的頂點和邊的順時針序列為op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i條邊所對應的運算子，v[i]表示第i個頂點上的數值，i=1~n。

在所給的多邊形中，從頂點i（1<=i<=n）開始，長度為j（鏈中有j個頂點）的順時針鏈p(i,j）可表示為v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果這條鏈的最後一次合併運算在op[i+s]處發生（1<=s<=j-1），則可在op[i+s]處將鏈分割為兩個子鏈p(i,s)和p(i+s,j-s)。

設m[i,j,0]是鏈p(i,j)合併的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最優合併在op[i+s]處將p(i,j)分為兩個長度小於j的子鏈的最大值和最小值均已計算出。即：

a=m[i,s,0] b=m[i,s,1] c=m[i,s,0] d=m[i,s,1]

(1) 當op[i+s]=』+』時

m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d

(2) 當op[i+s]=』*』時

m[i,j,0]=min ； m[i,j,1]=max

由於最優斷開位置s有1<=s<=j-1的j-1中情況。初始邊界值為 m[i,1,0]=v[i] 1<=i<=n m[i,1,1]=v[i] 1<=i<=n

因為多變形式封閉的，在上面的計算中，當i+s>n時，頂點i+s實際編號為(i+s)modn。按上述遞推式計算出的m[i,n,1]記為遊戲首次刪除第i條邊後得到的最大得分。

摘自：演算法描述：

1
void minmax(int i, int s, inti)2
14else
1527}28
}2930int
polymax()
3140
int temp = m[1][n][1
];41
for(int i=2; i<=n; i++)
42//
這裡的m[i][n][1]表示遊戲刪去第i條邊後
43//
得到的最大得分。 
44if(temp1]) temp = m[i][n][1
]; 45
return
temp;46}
47//
48//
當i+s>n時， 頂點i+s實際編號為（i+s）mod n .
49//
按以上的遞推公式計算出的m[i][n][1]表示
50//
遊戲刪去第i條邊後得到的最大得分。

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