快速冪 斐波那契數列

1）編寫程式，求解a^b。其中b是正整數。

方法1.

//

一般求冪演算法,o(r)
public
static
long power1(int a,int
r) 
if(r==0)
long res=1;
for(int i=1;i<=r;++i)
return
res;
}

這種使用連乘計算冪值的演算法，複雜度是o(n)。不過如果將連乘拆分為若干相乘的表示式就可以減少做乘法的次數，自然也能提高演算法效率。

方法2：快速冪計算

以a^10為例，一般方法是a^10=a*a*a*a*a*a*a*a*a*a，做9次乘法操作。為了減少乘法操作次數，首先將指數以二進位制形式表示，10的二進位制形式為1010。就有

a^10=a^(0*2^0+1*2^1+0*2^2+1*2^3)=a^(1*2^1+1*2^3)=(a^2)*((a^2)^3)=(a*a)*((a^2)*(a^2)*(a^2))，將乘法操作次數從9次減少為4次，復用了計算結果a^2。

推導公式：ab=ap(n)*2^n+p(n-1)*2^(n-1)+...+p(0)*2^0=ap(n)*2^n*ap(n-1)*2^(n-1)*...ap(i)*2^i...*ap(0)*2^0,其中p(i)是對應的二進位制位，如果是0，對應的項在計算的時候可以省略。另外有a^(2^i)=a^(2^(i-1)*2)=a^((2^(i-1))^2)。

快速冪的**如下：

public

static
long quickpower(long a,int
k) 
if(0==k)
long ans=1;
while (k!=0)
a*=a;
k/=2;
}return
ans;
}

時間複雜度是o(log n)。

遞迴求解冪運算的**：

//

遞迴冪計算,o(log r)
public
static
long power2(int a,long
r) 
if(0==r)
boolean flag=false
; 
if(0l==r%2l
) 
long val=flag?r/2l:(r-1)/2l
; 
if(flag)
else 
}

2）快速冪取模演算法

(a^b)%c=((a%c)^b)%c。快速冪取模演算法是rsa演算法的核心，其**實現如下：

public

static
long quickpower(long a,int k,int
m) 
if(0==k)
long ans=1
; 
while (k!=0
) a=(a*a)%m;
k/=2
; }
return
ans;
}

3)使用矩陣快速冪求解斐波那契數列（**如下：

1

public
static
long fibonacci4(intk)6
long c=,};//
單位矩陣，代替快速冪中的ans=1
7long a=,};//
待求冪的矩陣，對應快速冪中的a
8while (k!=0
)12 a=multiply(a,a);
13 k/=2;14
}15return c[0][0]+c[0][1
];1617}
1819
public
static
long multiply(long a,long
b)

演算法時間複雜度是o(log n)，雖然包含矩陣乘法，不過，矩陣始終是2*2的方陣，並不會隨著輸入規模的增大而有所變化。

另外三種方法求解斐波那契數列。

1

//二分遞迴求斐波那契數列，將大問題需要拆分為兩個子問題，然後分別通過遞迴呼叫求解，這就是二分遞迴。
2public
static
int fibonacci1(int
k)//
o(2^k)，利用斐波那契數列通項公式求得。大量重複計算56
//線性遞迴。o(n)
7public
static
long fibonacci2( long
k)14
long intpairs=fibonacci2(k-1
);15
long temp=intpairs[1
];16 intpairs[1]=intpairs[0
];17 intpairs[0]+=temp;
18return
intpairs;19}
2021
//遞推求解,o(n)
2223
public
static
long fibonacci3(long
k)27
long prevalue1=0;28
long prevalue2=1;29
long sum=0;30
for(int i=2;i<=k;++i)
36return
sum;
37 }

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