杜教篩入門

以下主要的話都用無序列表表示。

有什麼好講的？

問乙個積性函式的字首和，項數到1e10。

線性篩，積性函式。

欽定你已經可以再\(o(\sqrt)\)的複雜度內求出：

\[\sum_^n \rfloor}

\]\[\sum_^n \rfloor}

\]對於第乙個，先列舉小於\(\sqrt n\)的i，得出這段的值；又因為\(i\)在一段區間內\(\lfloor \frac \rfloor\)都是\(i_0\leq \sqrt n\)，因此可以求前式和後式。

然後對於積性函式\(f(i)\)，我們想求\(s_n=\sum_^n\)。

那麼，我們找乙個積性函式\(g\)，令\(t_n=\sum_g(d)\times f(\frac)\)

（就是狄利克雷卷積）。則有：

\[\begin

\sum_^n & =\sum_^n \sum_)} \\

& =\sum_^n)}} \\

& =\sum_^n \rfloor}}

\end

\]然後，欽定\(g(1)=1\)，那麼就有

\[\begin

s_n & =\sum_^n \rfloor}}-\sum_^n \rfloor}} \\

& =\sum_^n-\sum_^n \rfloor}}

\end

\]如果不管怎麼求\(s_ \rfloor}\)的話，發現滿足以下兩個條件就可以求\(s_n\)了。

考慮怎麼求上式後面的\(s_ \rfloor}\)，由於f是積性函式，必定可以用線性篩篩出前n項，於是可以用線性篩篩了f求出\(s_\)，至於大於\(\sqrt\)的下標，可以記搜：因為\(\lfloor \frac \rfloor} \rfloor=\lfloor \frac \rfloor\)，於是可以記錄n/d的d，當\(d>\sqrt\)時直接返回結果就行。

對於\(\phi\)，g為1（常值函式），t為i（自然數序列），用到的結論是\(x=\sum_\)。

證明有這樣幾個方向：

證明\(\forall i\mid n,1\leq j，都有\(i_1\times j_1\neq i_2\times j_2\)。顯然是要被叉翻的（其實是我在用3時不知道幹嘛了）。

直接通過\(\phi\)的計算公式和積性通過一波推理得到一些式子，化簡得到n。（巨佬做法）

證明\(\forall i\mid n,1\leq j，都有\(n/i_1\times j_1\neq n/i_2\times j_2\)。顯然，因為互質，所以兩個都是最簡分數，於是當i,j不同時，分數不可能相等，於是證明了任意乙個\(x\in [1,n]\)都只能由乙個(i,j)對轉移而來，即一一對應，證畢。

以上2的證明：

\[\begin

\sum_ & =\sum^m)} \\

& =\sum^m} \\

& =\prod_^m^} \\

& =\prod_^m^)}+1)} \\

& =\prod_^m}=n

\end

\]然後寫出來就可以了。

以下是乙份跑的非常慢的**模板（洛谷模板題的關鍵**）。

const int n = 3000005, nn = 3000000;
struct getsum
calced[d] = 1;
aftersum[d] = ans;
return ans;
}};int t, n;
int b[n];
ll phi[n], miu[n];
int temp[n / 10], top;
int main()
for (int j = 1; j <= top && i * temp[j] <= nn; ++j)
else}}
rep(i, 2, nn)
memcpy(van.presum, phi, 8 * (nn + 1));
memcpy(deep.presum, miu, 8 * (nn + 1));
while (t--), (int n) , (int n) ));
mem(deep.calced);
printf("%lld\n", deep.sum(n, 1, (int n) , (int n) , (int n) ));
}return 0;
}

杜教篩入門

習題杜教篩（Sum）（杜教篩）

模板杜教篩

杜教篩小結

杜教篩入門

習題 杜教篩（Sum）（杜教篩）

模板 杜教篩

杜教篩小結

相關推薦

習題杜教篩（Sum）（杜教篩）

模板杜教篩