fft是用來計算多項式卷積的東西。
多項式卷積： \(c=a\ast b\) ，即 \(c_k=\sum_ a_i\times b_j\) 。（假設下標範圍 \(0-n\) ）
直接按照定義做是 \(o(n^2)\) 的，但是fft可以做到 \(nlog(n)\) 。
考慮乙個 \(n\) 次多項式，取 \(n\) 個不同的 \(x\) 代入會得到 \(n\) 個 \(y\) ，然後發現由於我們可以解方程，因此只要不是無解、多解，我們可以說，乙個 \(n\) 次多項式和乙個（有 \(n\) 個點的集合一一對應）。
對於多項式 \(a=\sum_^a_i\times x^i\) ，定義其在 \(x=x_0\) 處的點值為 \(a(x_0)=\sum_^a_i\times x_0^i\) 。
多項式係數表示：對於 \(a=\sum_^ a_i\times x^i\) ，係數表示為 \(a=\\}\) 。
多項式點值表示： \(a=\,y_)\}\) 。如果 \(x\) 的取值確定的情況下，顯然也可以寫成 \(a=\\}\) 。這樣的話，多項式的係數、點值表示都可以寫成乙個向量vector的形式了。
點值表示中，若a與b \(x\) 的取值相同，它們相乘只需要把 \(x\) 對應的 \(y\) 分別相乘即可。
n次單位根（其實n次單位根只應該有1個，但是為了方便這裡就當作有n個）：方程 \(x^n=1\) 的n個複數根，分別稱為 \(w_n^0,w_n^1,w_n^2,...,w_n^\) ，其中 \(w_n^0=1\) 。簡記為 \(w_\) 。不引起歧義的情況下，我會寫成 \(w_0\) 。同時，在這裡，n應該是2的冪次（原因後文會講）。
主要用到的n次單位根的性質： \(w_^k=w_,w_=w_,w_}=-w_\) 。
dft，就是把乙個長度為 \(n\) 次的向量（多項式係數表示）代入 \(n\) 次單位根，從而轉換為另乙個向量（多項式點值表示）。而idft，是把以上點值表示轉換為係數表示。它們的複雜度都是 \(o(n\log n)\) 。
好，假設我們現在需要把乙個長為 \(2^=n\) 的多項式 \(a=\sum_^a_i\times x^i\) 轉換為點值表示（係數表示和係數表示向量被認為是相同的）。
我們先把它分成兩部分：
\[a=\sum_^-1}a_\times x^+\sum_^-1}a_\times x^。
\]構造兩個新的多項式，其係數表示的向量分別為：
\[a_1=\\}\\
a_2=\\}
\]把這兩個多項式分別變成點值表示（相當於遞迴向下做）：
\[a_1=\,0},a_0),(w_,1},a_2),...,(w_,\frac-1},a_)\}\\
a_2=\,0},a_1),(w_,1},a_2),...,(w_,\frac-1},a_)\}
\]然後考慮我們需要的是a的點值表示。列舉每乙個 \(n\) 階單位根，我們需要知道a代入 \(w_n^i\) 的值。然後再看一下第乙個公式
\[a=\sum_^-1}a_\times x^+\sum_^-1}a_\times x^。
\]又因為有 \((w_n^1)^2=w_n^2=w_}^1\) ，所以代入 \(w_n^i\) 後，點值就是a1在 \(w_}^i\) 處的點值加上 \(w_n^i\times a_2[w_}^i]\) 。
inline void fft(complex *a,int len,int fl);基本**：
inline void fft(complex *a,int len,int fl)
fft(a1, len / 2, fl);
fft(a2, len / 2, fl);
complex w = init(len, fl), cur = (complex)1;
rep(i, 0, len)
}
int tmp;
inline void fft(complex *a,int len,int fl)
// reverse
complex w, step, tmp;
for (i = 1; i < len; i <<= 1)}}
}
如上，但是把所有的 \(n\) 次單位復根換成 \(\pm 3^\mod\) 。
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