Matrix tree定理求生成樹的個數

matrix-tree定理：

對於乙個無向圖 g ，它的生成樹個數等於其基爾霍夫kirchhoff矩陣任何乙個n-1階主子式的行列式的絕對值。證明：

拉普拉斯矩陣(laplacian matrix)也可叫做基爾霍夫矩陣: 摘抄自->數學中的各種矩陣大總結

拉普拉斯矩陣是圖論中用到的一種重要矩陣，給定乙個有n個頂點的圖 g=(v,e)，其拉普拉斯矩陣被定義為 l = d-a，其中為圖的度矩陣，為圖的鄰接矩陣。例如，給定乙個簡單的圖，如下（例子來自wiki百科）：

把此「圖」轉換為鄰接矩陣的形式，記為a：

把w的每一列元素加起來得到n個數，然後把它們放在對角線上（其它地方都是零），組成乙個n×n的對角矩陣，記為度矩陣d，如下圖所示。其實度矩陣（對角線元素）表示的就是原圖中每個點的度數，即由該點發出的邊之數量。

根據拉普拉斯矩陣的定義l = d-a，可得拉普拉斯矩陣l 為：

顯然，拉普拉斯矩陣都是對稱的。此外，另外一種更為常用的拉普拉斯矩陣形式是正則化的拉普拉斯矩陣（symmetric normalized laplacian），定義為：

該矩陣中的元素由下面的式子給出：

// 暴力求行列式時間複雜度為 o(n!×n)

//一般方法高斯消元求行列式

// #define rep(i, n) for(int i=0;i!=n;++i)

// #define rep(i, sta, n) for(int i=sta;i!=n;++i)

int det(int c[maxn], int n)     
}if(!c[i][i]) return0;
ans = ans*c[i][i]%mod;
}return (ans+mod)%mod;
}

// hdu 4305

**參考地->

Matrix tree定理 求生成樹的個數