資料結構之二叉排序樹

1.什麼是二叉排序樹？

二叉排序樹（binary sort tree）又稱二叉查詢樹（binary search tree），亦稱二叉搜尋樹。它或者是一棵空樹；或者是具有下列性質的二叉樹：

（1）若左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；

（2）若右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於或等於它的根結點的值；

（3）左、右子樹也分別為二叉排序樹；

2.如何查詢？

步驟：

二叉樹若根結點的關鍵字

值等於查詢的關鍵字，成功。

否則，若小於根結點的關鍵字

值，遞迴

查左子樹。

若大於根結點的關鍵字

值，遞迴

查右子樹。

若子樹為空，查詢不成功。

平均情況分析（在成功查詢兩種的情況下）：

在一般情況下，設 p（n，i）為它的左子樹的結點個數為 i 時的平均查詢長度。

如圖的結點個數為 n = 6 且 i = 3; 則 p（n,i）= p（6, 3） = [ 1+ ( p(3) + 1) * 3 + ( p(2) + 1) * 2 ] / 6= [ 1+ ( 5/3 + 1) * 3 + ( 3/2 + 1) * 2 ] / 6

注意：這裡 p(3)、p(2) 是具有 3 個結點、2 個結點的二叉分類樹的平均查詢長度。在一般情況，p（i）為具有 i 個結點二叉分類樹的平均查詢長度。

p(3) = （1+2+2）/ 3 = 5/3

p(2) = （1+2）/ 2 = 3/2∴ p（n,i）= [ 1+ ( p(i) + 1) * i + ( p(n-i-1) + 1) * (n-i-1) ] / n

∴ p（n）=

p（n,i）/ n <= 2(1+i/n)lnn

因為 2(1+i/n)lnn≈1.38logn 故p(n)=o(logn)

3.刪除節點：

在二叉排序樹刪去乙個結點，分三種情況討論：

若*p結點為葉子結點，即pl(左子樹)和pr(右子樹)均為空樹。由於刪去葉子結點不破壞整棵樹的結構，則只需修改其雙親結點的指標即可。

若*p結點只有左子樹pl或右子樹pr，此時只要令pl或pr直接成為其雙親結點*f的左子樹（當*p是左子樹）或右子樹（當*p是右子樹）即可，作此修改也不破壞二叉排序樹的特性。

若*p結點的左子樹和右子樹均不空。在刪去*p之後，為保持其它元素之間的相對位置不變，可按中序遍歷保持有序進行調整，可以有兩種做法：

其一是令*p的左子樹為*f的左/右(依*p是*f的左子樹還是右子樹而定)子樹，*s為*p左子樹的最右下的結點，而*p的右子樹為*s的右子樹；

其二是令*p的直接前驅（或直接後繼）替代*p，然後再從二叉排序樹中刪去它的直接前驅（或直接後繼）－即讓*f的左子樹(如果有的話)成為*p左子樹的最左下結點(如果有的話)，再讓*f成為*p的左右結點的父結點。

4.插入節點：

首先執行查詢演算法，找出被插結點的父親結點。

判斷被插結點是其父親結點的左、右兒子。將被插結點作為葉子結點

插入。若二叉樹

為空。則首先單獨生成根結點。

注意：新插入的結點總是葉子結點

。5.效能分析：

每個結點的c(i)為該結點的層次數。最壞情況下，當先後插入的關鍵字有序時，構成的二叉排序樹蛻變為單支樹，樹的深度為，其平均查詢長度為(n+1)/2(和順序查詢相同），最好的情況是二叉排序樹的形態和折半查詢的判定樹相同，其平均查詢長度和log 2 (n)成正比

#include #include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
typedef 
struct bitnode//
二叉排序樹的儲存結構
*bitree;
void visit(bitree &p)//
遍歷void inorder(bitree &p)//
中序遍歷，可檢驗二叉排序樹是否正確，若正確，中序遍歷是乙個單調不減的序列
}bool eq(int a,int b)//
判斷當前節點與插入節點是否相等
bool lt(int a,int b)//
判斷當前節點是否與插入節點存在大小關係
bool rt(int a,int b)//
判斷當前節點是否與插入節點存在大小關係
//#define eq(a,b) ((a) == (b))
//#define lt(a,b) ((a) < (b))
//#define lq(a,b) ((a) <= (b))
//在根指標t所指排序二叉樹中遞迴地查詢某關鍵字等於key的資料元素，若查詢成功，則指標p只想該資料元素節點，並返回true；否則指標p指向查詢路徑上訪問的最後乙個節點並返回false，指標f指向t的雙親，其初始呼叫值為null
bool searchbst(bitree t,int key,bitree f,bitree *p)
else
if(eq(key,t->data))
else
if(lt(key,t->data))
else}//
當排序二叉樹t中不存在關鍵字等於key的元素時，插入e並返回true，否則返回false。
void insertbst(bitree *t,int
e) 
else
if(lt(e,p->data))
else
return
; }
//樹中已經有關鍵字相同的節點，不再插入
else
}void delete(bitree &p)
else
if(p->lift==null)
else
p->data=s->data;//
s指向被刪除節點的「前驅」（將被刪除節點的前驅的值取代被刪除節點的值）
if(q!=p)
q->right=s->right;//
重接q的右子樹
else
q->right=s->lift;//
重接q的左子樹
free(s);
}}void deletebst(bitree &t,int
key)
else
if(lt(key,t->data))
else
}}int search(bitree t,int
key)
else
if(lt(t->data,key))//
<
else
if(rt(t->data,key))//
>
}return0;
}int
main()
cin>>j;
if(search(p,j)!=0)cout<
yes 
"else cout<
<
}return0;
}

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