HDU 2546 0 1揹包問題

揹包問題是乙個經典的動態規劃模型。它既簡單形象容易理解，又在某種程度上能夠揭示動態規劃的本質，故不少教材都把它作為動態規劃部分的第一道例題。

01揹包問題，可以這麼理解。

題目有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

基本思路

這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f[i][v]=max

這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：「將前i件物品放入容量為v的揹包中」這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為乙個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入容量為v的揹包中」，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中」，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。

優化空間複雜度

以上方法的時間和空間複雜度均為o(vn)，其中時間複雜度應該已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到o。

先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有乙個主迴圈i=1..n，每次算出來二維陣列f[i][0..v]的所有值。那麼，如果只用乙個陣列 f[0..v]，能不能保證第i次迴圈結束後f[v]中表示的就是我們定義的狀態f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主迴圈中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主迴圈中我們以v=v..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]儲存的是狀態 f[i-1][v-c[i]]的值。偽**如下：

for i=1..n

for v=v..0

f[v]=max;

其中的f[v]=max一句恰就相當於我們的轉移方程

f[i][v]=max

，因為現在的f[v-c[i]]就相當於原來的f[i-1][v-c[i]]。如果將v的迴圈順序從上面的逆序改成順序的話，那麼則成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，與本題意不符，但它卻是另乙個重要的揹包問題p02最簡捷的解決方案，故學習只用一維陣列解01揹包問題是十分必要的。

事實上，使用一維陣列解01揹包的程式在後面會被多次用到，所以這裡抽象出乙個處理一件01揹包中的物品過程，以後的**中直接呼叫不加說明。

1 #include2 #include3 #include
4int
main()
522 scanf("
%d", &m);
23if(m < 5)24
28 v = m - 5;29
for(i = 0; i < n; i++)
3037
}38 printf("
%d\n
",m - p[v] -w[maxz]);39}
40return0;
41 }

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飯卡 HDU 2546（01揹包）

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