為什麼要平穩？
原因一：時間序列資料的資料結構與傳統的統計資料結構不同。最大的區別在於，傳統隨機變數可以得到多個觀測值（比如骰子點數，可以反覆擲得到多個觀測值，忽略時間的差異）。而時間序列資料中，每個隨機變數只有乙個觀測值（比如設**價為研究的隨機變數，每天只有乙個**價，不同日子的**服從的分布不同，即考慮時間的差異）。這樣一來，每個分布只能得到乙個觀測值，數目太少，無法研究分布的性質。但是通過平穩性，從不同日期的分布之間發現內在關聯，緩解了由於樣本容量少導致的估計精度低的問題。
原因二：研究時間序列的最終目的是，**未來。但是未來是不可知的，我們擁有的資料都是歷史，因此只能用歷史資料來**未來。但是，如果過去的資料與未來的資料沒有某種「相似度」，那這種**就毫無道理了。平穩性就是保證這種過去與未來的相似性，如果資料是平穩的，那麼可以認為過去的資料表現出的某些性質，未來也會表現。
什麼是嚴平穩？
對於乙個時間序列，其中每個資料x都是隨機變數，都有其的分布（如圖）。
取其中連續的m個資料，x1到xm，則可以構成乙個m維的隨機向量，(x1,x2,...,xm)
由於單獨的每個隨機變數x都有各自的分布，那麼組合成乙個m維隨機向量後，這個多維向量整體就有乙個「聯合分布」。
嚴平穩的本質就是，這種聯合分布不隨著時間的推移而變化。
也就是說，取資料時，任意連續取出的m個資料（無論是從x1取到xm，還是從xt取到xt+m），他們組成的多維向量的聯合分布都是相同的。
此時，再放寬乙個條件，讓這個m的取值也任意。
即無論這取資料的視窗設定為多寬，只要連續取相同數目個資料，他們構成的聯合分布都是相同的。
比如，(x1,x2,x3)與（x6,x7,x8）有相同的3維聯合分布，(x1,x2,x3,x4)與（x6,x7,x8,x9）有相同的4維聯合分布。
綜上，符合上述性質的時間序列，是嚴平穩的。
有了嚴平穩為什麼還要有寬平穩？
很多情況下，我們無從得知這些隨機變數的分布到底是什麼樣子。
我們觀測得到的資料，只是服從某種未知分布的隨機變數的一種取值。
既然連單個隨機變數的分布都難以求出，就更不用說求由一堆隨機變數組成、多維隨機向量的聯合分布有多困難了。
因此嚴平穩雖然是一種保證過去與未來的資料「相似」很棒的方式，但過於理想化，實際上很難檢驗乙個時間序列的嚴平穩性。
於是只能放寬條件，因而產生了「寬平穩」的概念。
什麼是「k階矩」？
「矩」是隨機分布的一種特徵數。特徵數，顧名思義，反映了乙個隨機分布的某種特徵。比如「數學期望」反映了，符合某種分布的隨機變數的取值，總是在某個值周圍波動；而「方差」則反映了，這種波動的大小程度。
矩分為原點矩和中心矩，其中一階原點矩就是數學期望，二階中心矩就是方差。
通常2階以內（含2階）稱為低階矩，2階以上稱為高階矩。
但是這兩者之間有相互推導的公式，知其一就可推其二，因此一般只稱「矩」。
其中，隨機變數的k階原點矩的定義為，隨機變數的k次方的數學期望，即e(xk)。平時所說的「k階矩存在」，就表現為這個數學期望不是無窮（也就是小於無窮），這與「極限存在」的定義是同理的。
值得注意的是，如果乙個隨機變數的某高階矩存在，那麼低階矩也一定存在。因為|x|k-1≤|x|k+1。
嚴平穩中由於聯合分布相同，故各階矩也相同。
什麼是寬平穩？
寬平穩性是使用序列的特徵統計量來定義的，它認為序列的統計性質，主要由其低階矩決定。
當時間序列滿足以下三個條件時：
第乙個條件，任意時刻二階矩都存在。
第二個條件，隨機變數的期望（一階矩）不隨時間的推移而改變。說白了就是，均值μ不隨時間t改變。
第三個條件，兩個時點的隨機變數之間的自相關係數，只與這兩個時點的時間差有關，而不隨時間的推移而改變。說白了就是，只要視窗寬度（即兩時點的時間差）固定，則自相關係數是唯一。
就被稱為是寬平穩的。
由於定義涉及到的幾個條件，寬平穩也被稱為協方差平穩，或二階平穩。
從自相關係數與時間t無關能得到什麼結論？
由於自相關係數只跟視窗寬度l（lag的首字母，表示用於計算自相關性而取的、兩個資料之間的時間差）有關，與時間t無關，因此大可以設乙個函式acf（autocorrelation function）表示這個視窗寬度與自相關係數之間的函式關係。其自變數為滯後期數（即視窗寬度，用l表示），因變數為自相關係數（用ρ表示）。
根據協方差的定義，ρl中，分子為cov(xt,xt-l)，分母為sqrt。由於【【【【記得寫完】】】】
平穩性的一些結論
如果乙個時間序列平穩，則有：
均值是與t無關的常數。即不同時點的分布中，隨機變數都是圍繞同乙個值波動的。表現在時序圖（橫軸為時間軸，縱軸衡量隨機變數取值）中，即圖線整體是圍繞某個水平線波動的（類似於政經裡**圍繞價值上下波動那個圖）。
方差是與t無關的常數。這在定義裡並沒有顯然地體現，但是由於定義給出自相關係數只與視窗寬度有關，而與視窗位置即時間t無關，所以大可以乾脆取個寬度為0的視窗，於是本來相隔乙個視窗寬度的兩個時點資料之間的相關性，就變成了同乙個時點資料自己和自己之間的相關性，自己和自己，當然相關係數為1。
協方差是常數。
嚴平穩與寬平穩之間的關係？
嚴平穩本質上是對時間序列的分布進行限制，而寬平穩的本質是對低階矩進行限制。
由於寬平穩比嚴平穩的條件更為寬鬆，因此通常情況下，嚴平穩能推導出寬平穩，但寬平穩不能反推嚴平穩。但有特例。
因為寬平穩時，需要滿足二階矩存在的條件。而嚴平穩不需要滿足二階矩存在。
因此，不存在二階矩的嚴平穩序列，無法滿足寬平穩。例如嚴平穩的柯西分布序列，就不符合寬平穩（一二階矩不存在，因此無法驗證寬平穩）。
所以，只有二階矩存在時，嚴平穩序列才滿足寬平穩。
特例：當序列服從多元正態分佈時，寬平穩序列一定能推導出嚴平穩。
原因在於，正態時間序列的二階矩平穩，等價於分布平穩（其密度函式表明，n維正態分佈僅由其均值向量和自協方差矩陣決定）。
正態時間序列
如果乙個時間序列，從中取出任意n個（有限個）隨機變數，組成的n維隨機向量，都服從n維正態分佈，則稱之為正態時間序列。即上方的特例。
時間序列平穩性的統計檢驗
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時間序列學習筆記（2）平穩性
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